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同じ確率変数に従い独立して発生するA,Bの商(A/B)の確率分布を求めたいのですが、やり方が分からず困っています。

確率変数A,Bが互いに独立で、以下の式に従う。
f(x)=15*e^(-x/7.6) (但し、1<=x<=30)
確率変数U=f(A)/f(B)の確率密度関数はどう求められるのでしょうか?

確率について未熟で記載にわかりにくい部分があると思いますが、宜しくお願い致します。

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A 回答 (3件)

#1さんの指摘のとおり確率密度分布になっていないのに加えて、A/Bの分布なのかf(A)/f(B)の分布なのかわかりませんね。


どれを求めたいのかはわかりませんが、A/Bの分布を求めてみたので書いておきます。

確率変数A, Bはパラメータλの指数分布の[p, q]の範囲(ただし0 ≦ p < q)を残し切断した分布にiidで従うとします。
パラメータλ(>0)の指数分布の確率密度関数が
Exp(x) = λexp(-λx) (0 ≦ x < ∞)
= 0 (x < 0)
であることから、A, Bの確率密度関数が
f(x) = (λ/(exp(-λp)-exp(-λq)))exp(-λx) (p ≦ x ≦ q)
= 0 (その他)
であることが容易にわかります。

確率変数A, Bを
U = A/B
V = B
と変換すると
dadb = |v|dudv
で、確率密度が0とならない部分は
p/q ≦ u ≦ q/p
p/u ≦ v ≦ q (p/q ≦ u ≦ 1のとき)
p ≦ v ≦ q/u (1 < u ≦ q/pのとき)
であるので、求める確率密度関数は
u < p/qのとき 0
p/q ≦ u ≦ 1のとき
∫_p^{q/p} f(uv)f(v)dv = (1/(exp(-λp)-exp(-λq))^2)(G(λq(u+1))-G(λp(u+1)/u))/(u+1)^2
1 < u ≦ q/pのとき
∫_{p/q}^q f(uv)f(v)dv = (1/(exp(-λp)-exp(-λq))^2)(G(λqt(u+1)/u)-G(λp(u+1)))/(u+1)^2
u > q/pのとき 0
となります。ここでG(x)は形状母数が2で尺度母数が1のガンマ分布の分布関数です。

実際にパラメータを
p = 1
q = 30
λ = 1/7.6
と他3とおり設定して分布を描いてみました。
青い線が理論的な分布、黒い線がシミュレーションによる分布、赤い線は実現値の上限、下限および1を示しています。
シミュレーションはA, Bに従う乱数を10万組発生させて、カーネル密度により分布を描きました。
結果は見てのとおりほとんど一致しました。

グラフの作成は統計解析ソフトR 2.14.0により下記のコードを使いました。
(エラー処理はしてません)

# 理論的な確率密度関数
myPdf <- function(x, lamda, p, q)
{
results <- numeric(length(x))

tmp <- 1 / (exp(-lamda * p) - exp(-lamda * q))^2
flag <- x >= p / q & x <= 1
results [flag] <- tmp * (pgamma(lamda * q * (x[flag] + 1), 2) - pgamma(lamda * p * (x[flag] + 1) / x[flag], 2)) / (x[flag] + 1)^2
flag <- x > 1 & x <= q / p
results [flag] <- tmp * (pgamma(lamda * q * (x[flag] + 1) / x[flag], 2) - pgamma(lamda * p * (x[flag] + 1), 2)) / (x[flag] + 1)^2

return(results)
}

# 乱数の発生
myRnd <- function(n, lamda, p, q)
{
results <- numeric(n)

i = 0
while (i < n) {
tmp <- rexp(2, lamda)
if (sum(tmp >= p & tmp <= q) == 2) {
i <- i + 1
results[i] <- tmp[1] / tmp[2]
}
}

return(results)
}

# シミュレーションの実施と分布の描画
sim <- function(n = 100000, lamda, p, q)
{
title <- sprintf("lamda = %g, p = %g, q = %g)", lamda, p, q)
x <- myRnd(n, lamda, p, q)

plot(density(x), xlim = c(p / q, q / p), main = "", xlab = "", ylab = "", xaxt = "n", yaxt = "n")
par(new = T)
plot(function(x) myPdf(x, lamda, p, q), xlim = c(p / q, q / p), ylab = "density", col = "blue", main= title)

abline(v = p / q, col = "red")
abline(v = 1, col = "red")
abline(v = q / p, col = "red")
}

par(mfrow = c(2, 2))
sim(100000, 1 / 7.6, 1, 30)
sim(100000, 1, 1, 30)
sim(100000, 1 / 7.6, 10, 30)
sim(100000, 1 / 7.6, 1, 3)
par(mfrow = c(1, 1))
「確率変数の商の確率分布について」の回答画像3
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和と積の確率密度は聞くけど、商は??と言う程度の者です。


興味が合って検索したら下のHPが見つかりました。
http://wkouw.web.fc2.com/MYPEDIA_math/Word_sekin …

商の確率密度の式の積分を和に置換えて数値計算できるのではないでしょうか。
nも30と少なく、幸いXもYもゼロでは無いのでX/Yも無限大には成らないし。

昔三重積分(和)をベーシックで計算した経験から、マクロで計算できるとは
思いますが。残念ながらマクロは不案内です。

確率密度ですから、104.605で割ってΣf(x)=1と成るように規格化して置いた方が
無難です。
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この回答へのお礼

なるほど・・・。
用途を考えるとシミュレーション代用できそうなのでやって見ることとします。

ありがとう御座います

お礼日時:2012/02/20 14:18

f が確率分布になってない

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Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

QX,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、

X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
  頭悪いです、すみません~

Aベストアンサー

正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。
コーシー分布の密度関数の導出も確認してください。
密度変換の公式などは,大丈夫ですね。

Q確率密度関数の四則演算

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8571563.html

このページで二つの独立した確率密度関数の
足し算と掛け算の確率密度関数に関してご回答いただいたのですが

x + y の確率密度関数が二等辺三角形

x × y の確率密度関数が-ln(t)

になるのはどういう計算を行っているのでしょうか?

検索しても調べてみたのですが
解説ページが見つかりませんでした。
解説ページなどあれば教えてください。

Aベストアンサー

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。

 正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は?」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
 もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。

[1] 「確率変数xが確率密度関数φ(x)に従う」とは、Δaがうんと小さい正の実数のとき、mΔa≦x<(m+1)Δa(すなわちx∈[mΔa,(m+1)Δa))となる確率をP(x∈[mΔa,(m+1)Δa))と書くと
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ(mΔa)Δa
だってことです。特にxが一様分布φ1(x)に従うのであれば、
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ1(mΔa)Δa
である。
 さて、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であるとします。このとき、z=x+yの分布はどうなるか。ただしyがφ1(y)に従い、しかもyはxとは独立である。簡単ですね。y=z-aなのだから、もちろんzは φ1(z-mΔa)に従う。
 言い換えれば、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であって、Δbがうんと小さい正の実数のとき、nΔb≦z<(n+1)Δbとなる条件付き確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) = φ1(nΔb-mΔa)Δb
です。だからz∈[nΔb,(n+1)Δb)となる確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) P(x∈[nΔa,(n+1)Δa))
   = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} φ1(nΔb-mΔa)Δb φ1(nΔa)Δa
   = ∫{a=-∞〜∞} φ1(nΔb-a)Δbφ1(a) da
と書ける。zが従う確率密度関数をφa(z)とすると、
  lim[Δb→0] P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = φa(nΔb)Δb
なので、
  lim[Δb→0] (φa(nΔb) - P(z∈[nΔb,(n+1)Δb))/Δb )= 0
つまり
  φa(b) - ∫{a=-∞〜∞} φ1(b-a)φ1(a) da
ここでbをz, aをxに書き換えてみると
  φa(z) = ∫{x=-∞〜∞} φ1(z-x)φ1(x) dx
となります。

[2] 一般に、
   (f*g)(z) = ∫{x=-∞〜∞} f(z-x)g(x) dx
を 「fとgの畳み込み(convolution)」と呼びます。
 なお、(f*g) = (g*f) が成り立つことは容易に証明できます。畳み込みは信号処理・画像処理における「フィルター」、制御工学における「伝達関数」の作用を表すのにも使われる、とても重要な概念です。
 これを使って、

定理:「確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、z=x+yは確率密度関数(f*g)(z)に従う」
 (これは、上記[1]の計算をfとgを使ってやり直してみれば証明できるでしょ。)

[3] では、確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、t=xyはどんな確率密度関数に従うか。
 t=xyの両辺の対数をとって
  ln(t) = ln(x) + ln(y)
とし、ln(t), ln(x), ln(y)をそれぞれ T, X, Yという確率密度関数だと考えれば、「確率密度関数f(X)に従うXと、Xとは独立で確率密度関数g(Y)に従うYについて、T=X+Yは確率密度関数(f*g)(T)に従う」わけです。
 xがφ1(x)に従うとき、X = ln(x)がどんな確率密度関数fに従うか。これは簡単でしょうからご自分で。Tが従う確率密度関数は(f*f)(T)です。あとは t = exp(T) がどんな確率密度関数に従うか、という問題を解けば、おしまいです。

 「分かりやすい」をお求めですけど、すらすら行かない場合でも、少なくとも2〜3日ぐらいは粘ってみて下さいな。七転八倒することが地力を付けること。こんなの慣れちまえば鎧袖一触です。

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。

 正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は?」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
 もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。...続きを読む


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