ピアソンのχ^2適合度検定の定理

確率変数Xがとる値をE1,E2,...,Ekとし、これらの値をとる確率をp1,p2,...,pk(>0)とする。
このXをn回測定した時にE1,E2,...,Ekの現れる回数をそれぞれn1,n2,...,nkとすると、
χ^2 = Σ(ni-npi)^2/npi　(i=1→k)の従う分布はnが大きくなると徐々に自由度k-1のχ^2分布に近似できる。

とあったのですが、近似できる証明をご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。サイト等でも構いません！
(一応色々と調べてみたのですがなかなか見つからなくて…(; ;）)

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/22 23:12

npi は、n*pi と解釈します。

そうすれば、n*pi は X=Ei となる度数の「基準となる値」（期待値）となります。

　ということで、
　　χ^2 = Σ(ni - n*pi)^2/n*pi　(i=1→k)
の式は、カイ2乗値の計算式そのものです。
（教科書にも定義式は載っているでしょうが、参考として例えば下記）
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/kai …

　カイ2乗値自体は、特定のサンプルデータから計算した値ですから、サンプルごとに値が異なりますが、たくさんのランダムなサンプルをとってくれば、それらのサンプルデータは「特定の分布」をします。カイ2乗値の理論的な分布が「カイ2乗分布」ですから、たくさんのランダムなサンプルは「カイ2乗分布」に従うことになります。
　サイコロを少数回振るサンプルでは、目の数の度数が偏ったデータになりますが、たくさんのランダムなサンプルをとってくれば、各「目の数」が「1/6」ずつになる「理論的な分布」に近づくのと同じです。
　サンプルのサイズ（1つのサンプルのデータ数）が k ですから、自由度は「 k-1 」ということになります。

　ということで「証明する」うんぬんということではなく、単なる「大数の法則」ということです。
↓　大数の法則
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0 …

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。

お礼日時：2016/07/26 19:10