無限に深い井戸におけるエネルギーと運動量の分布の矛盾 量子力学

無限に深い井戸型ポテンシャル（範囲 -a/2<x<a/2）では、波動関数はφn(x)=√(2/a) cos(nπx/a)で、エネルギーはEn=p＾2/2m=(hπn/a)＾2/2m です。（ディラックエイチをhで書いています）
基底状態（n=1）に限って話を進めますと、φ1をフーリエ変換し、運動量の分布を表すF1(p)やｌF1(p)ｌ＾2は画像のような広がりを持つ関数になります。
ここで疑問なのですが、エネルギーはE1=p＾2/2m=(hπ/a)＾2/2m という明らかな確定値を取るのに対し、運動量の確率密度はｌF1(p)ｌ＾2のように様々な値を取り、このような運動量をE=p＾2/2mに代入して得られるエネルギーE1も明らかに様々な値を取ってしまいます。なぜこのような矛盾が起こるのでしょうか？
『量子力学演習/装華房　小出昭一郎 著』の演習問題の解答(p.39)でも同じような説明が書かれてあります。

（私は、これまでてっきり基底状態の運動量はp=+hπ/a と-hπ/a の2通りの値のみ取り、
だからこそ基底状態のエネルギーも1通りに確定するのだと思い込んでいました）
よろしくお願い致します。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2023/02/01 21:18

いや、だからその状態はH=p^2/2m+V(x)の固有状態なのであって、

p^2/2mの固有状態ではないからです。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 10:47

その関数はx=±a/2で傾きが不連続に変わります。

なので2階微分はx=±a/2でδ関数的に発散しています。
よってp^2/2mの固有関数ではありません。

この回答へのお礼

御解答ありがとうございます。運動量の固有関数でないことは仰る通りです。当方の疑問点は、なぜE1が確定値を持っているにもかかわらず、p＾2/2mは確定しないのか、という点です。

お礼日時：2023/02/01 01:56

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/01/28 02:32

無限に深い井戸自体が間違いですッ！