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一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

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  • 質問者：yamikuro2001
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか？教えてください（泣

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： siegmund
  • 回答日時：

例によって答を教えてくれない先生ですか．


どうも困ったもんですね～．

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です．
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます．

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん，nx = ny = nz = 1 の
ただ１通りだけ．
したがって基底状態の縮退度は１．

最初の励起状態は，nx,ny,nz のうち１つが２，残り２つが１というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね．
nx,ny,nz のうちどれかが２だというのだから，３通りの可能性があります．
すなわち，縮退度は３．

２番目の励起状態は，nx,ny,nz のうち２つが２，残り１つが１というやつで，
これも３通りの可能性があるから，縮退度は３．

つまり，エネルギーを決めると，nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので，
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です．
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです．

幾何学的には，nx,ny,nz の３次元空間で，球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき，その球面が通る格子点の数はいくつか，と言う問題になっています．

通常は，a が十分大きいとして，エネルギーの連続極限をとってしまいますが，
そこらあたりまで要求されているんでしょうか？

それから，もし粒子が電子だとすると，nx,ny,nz を指定しても，
その他にスピンの自由度２があります．
スピンまで考慮すれば，縮退度は上の計算の２倍になります．
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この回答へのお礼

どうもsiegmundさん。ほんと毎度お世話になります。
そうです、例の先生です（苦笑）

問題をよく見ると「基底状態と第一励起状態のみを考慮すれば十分であるとする」
という断り書きがありました。
小問集合のうちの一つなのでそんなに深く考えないでよいみたいです。

助かりました。ありがとうございましたっ。

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お礼日時：2001/07/18 01:04

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>基底状態に比べて励起状態は反応性に富んでいる
この表現は定性的なものなので、例えて言うなら
「満潮時よりも干潮時の方が水位が低い」
みたいなものです。
具体的に満潮時の水位がどれくらいで、
干潮時の水位がどれくらいかは言わないけれど
その性質としてどうだと述べている程度のことです。

>「イオン化ポテンシャル」「電子親和力」「分子軌道」
という記述から判断してたぶん無機化学の話をしてい
るんだろうなと想像はつくので、化学の方でそれぞれ
について聞いてみるのが良いかもしれません。

Na → Na+ ＋ e-
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のNa+、Cl-は励起状態とは言わないはず。
（Cl-はエネルギー減ってるし・・・）

分子軌道の方は励起状態と関係あるね。
でも、軌道がややこしいので水素原子で話をすると
水素原子は中心に1個陽子があってその周りに電子が
1個回っています。

電子軌道が軌道が1s,2s,2p,3s,3p,3d・・・・
(数字がエネルギー準位,アルファベットが軌道の種類）
とあって、一番下のエネルギー準位nが
n=1のときが基底状態でn=2,3,4…のときが励起状態。
それぞれのエネルギー準位のエネルギーEnは
En＝-13.6[eV]/n^2
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E1<E2<E3<E4・・・・・・
とエネルギー準位が高いほどエネルギーは高い。
エネルギーが負なのは基準をどこにとるかだけの問題なので
気にしないで。

要するに、電子が一番下にエネルギー準位にいるのが
基底状態で、それ以外のところにいるのが励起状態。
もちろん分子の場合電子は1個じゃないから下から順に
詰めて行ってという話になるだろうけれど。
そして、基底状態が一番エネルギーが低く、
励起状態は基底状態よりもエネルギーが高い。
これで本質的には間違っていないと思います。

エネルギーが低い方が安定なので
水素原子の場合、光というエネルギーを放出して、
励起状態から基底状態に戻ります。

分子の場合、このエネルギーが何かしらの反応に
必要なエネルギーに使えるから基底状態の分子よりも
反応を起こしやすいって理解で良いんじゃないでしょうか。

>基底状態に比べて励起状態は反応性に富んでいる
この表現は定性的なものなので、例えて言うなら
「満潮時よりも干潮時の方が水位が低い」
みたいなものです。
具体的に満潮時の水位がどれくらいで、
干潮時の水位がどれくらいかは言わないけれど
その性質としてどうだと述べている程度のことです。

>「イオン化ポテンシャル」「電子親和力」「分子軌道」
という記述から判断してたぶん無機化学の話をしてい
るんだろうなと想像はつくので、化学の方でそれぞれ
について聞いてみるのが良いかもしれま...続きを読む

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Q一分子の基底状態と励起状態の縮退度

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか？教えてください（泣

Aベストアンサー

大学生なのでしょうか。だとしたら、かいつまんで説明します。
私もちょうど一年前、大学の統計熱力学で学んだので、ちょっとだけ覚えています。
ただし、記憶が曖昧なんで、他の人の書き込みも参考にしてみて下さい。

縮退度を最も分かりやすく考えるなら、「場合の数」や「組み合わせの数」と
置き換えるといいでしょう。詳しくは物理化学とかのテキストを読んで下さい。

基底状態は（nx,ny,nz）=（1,1,1）
ですよね。この場合は、nx=ny=nz=1が条件なので、このエネルギー状態ってのは
1通りしかありませんね。だから、縮退度は1です。
一方、基底状態は、nx,ny,nzのどれかが1→2に励起した状態のことですよね。
だから、励起状態は（nx,ny,nz）=（2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
の3通りが考えられます。つまり、縮退度は3です。

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Q波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式は？

波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
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No1 の回答の式より
　Ｅ = hc/λ[J]
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となります。
波長が nm 単位なら　Ｅ = hc×10^9/eλ　です。
あとは、
　h = 6.626*10^-34[J・s]
　e = 1.602*10^-19[C]
　c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
　E≒1240/λ[eV]
となります。

＞例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
＞合っているのでしょうか？
λに 540[nm] を代入すると
　E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

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もともと、別々の準位だったものが、原子を近づけて行った時に最外殻電子同士の軌道が重なり合います。そのとき、原子Aの電子と原子Bの電子が原子間を行き来できるようになり、電子の区別ができません。
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Q水素原子の期待値の計算

水素原子１S軌道に関して運動量pの期待値〈p^2〉を求め、最終的には運動エネルギーの期待値を得たいのですが、

水素原子の１S軌道の波動関数をΨ、その複素共役をΨ*とします。
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)です。aはボーア半径です。
このとき
〈p^2〉＝∫Ψ*p^2Ψdτ
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ* p^2Ψ
ここでp^2=(-(h/2π)^2)d^2/dx^2なので上の式に代入して
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ*(-(h/2π)^2)d^2/dx^2Ψ
さらに
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)であるので(aはボーア半径)、上の式に代入して整理すると
　　　　=(2π)×(2)×(1/π) ・(1/a^3)・(-(h/2π)^2)∫r^2・exp(‐2r/a)・(d^2/dx^2)dr
xの2階微分の処理方法を含め、ここからどのように計算したらよいか分からずにいます。
最終的には水素原子１S軌道に関しての運動エネルギーの期待値を得たいのです。
しかもポテンシャルエネルギーの期待値との関係から〈K〉＝-(1/2) 〈U〉= e＾2/(8πεa)になるはずなのですが真空の誘電率εや電荷eが出てくる気配もなく困っています。
どうかご教示いただけないでしょうか。
そもそも計算方法が間違っているのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

水素原子１S軌道に関して運動量pの期待値〈p^2〉を求め、最終的には運動エネルギーの期待値を得たいのですが、

水素原子の１S軌道の波動関数をΨ、その複素共役をΨ*とします。
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)です。aはボーア半径です。
このとき
〈p^2〉＝∫Ψ*p^2Ψdτ
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ* p^2Ψ
ここでp^2=(-(h/2π)^2)d^2/dx^2なので上の式に代入して
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ*(-(h/2π)^2)d^2/dx^2Ψ
さらに
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)であるので(a...続きを読む

Aベストアンサー

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。水素原子のように三次元のときには

　p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

　p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない（∂Ψ/∂θ＝∂Ψ/∂φ＝0）ので、p^2をΨに作用させると

　p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))
　
のような簡単な形になります。

　∂(exp(-r/a))/∂r = -exp(-r/a)/a
　∂^2(exp(-r/a))/∂r^2 = exp(-r/a)/a^2

ですので

　Ψ* p^2 Ψ = 1/(πa^3) (-(h/2π)^2) exp(-2r/a) (-2/(ra)+1/a^2)

となって運動エネルギーの期待値〈K〉は

〈K〉= ∫∫∫dφdθdr{r^2 sinθ Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π∫dr{r^2 Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π/(πa^3) (-(h/2π)^2/2m)∫{exp(-2r/a)(-2r/a+(2r/a)^2/4)}dr
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) ∫{exp(-t)(-t+t^2/4)}dt
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) (-1+1/2)
　　　= (h/2π)^2/(2m a^2)

のように計算できます（途中で2r/a=tとおきました）。

真空の誘電率εや電荷eで〈K〉を表すにはボーア半径の定義

　a= 4πε(h/2π)^2/(me^2)

を使います。この式を変形すると

　(h/2π)^2/m = a e^2 /(4πε)

のように書けるので、これを上で求めた〈K〉に代入すると

〈K〉= e^2 /(8πεa)

となります。

式が多いので間違っているところがあるかもしれません。あやしげなところや納得のいかないところがありましたら、お知らせください。

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。水素原子のように三次元のときには

　p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

　p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない（∂Ψ/∂θ＝∂Ψ/∂φ＝0）ので、p^2をΨに作用させると

　p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))
　
のよ...続きを読む

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Qミラー指数：面間隔bを求める公式について

隣接する２つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)　・・・（１）

となる。

質問：「(１)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_|￣|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0　　(1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a　　(2a)
hx + ky + lz = -a　　(2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)　　(3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt　　(4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)　　(5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)　　(6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp＞qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ：
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト　第３章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL：http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

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Q長さの単位であるAの上に丸がついた記号は何ｍですか。

こんばんは。Ａの上に丸がついた単位をよく見ますが、これは「オームストローム」のことでしょうか。違うのであればこの単位をメートルに直したときどのような値をとるのか教えてください。

Aベストアンサー

この答えでいいのでしょうか。

☆Å（オングストローム/angstrom）　
長さの補助単位。
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スウェーデンの物理学者オングストレームの名にちなむ。

参考URL：http://www.sun-inet.or.jp/~nao2/jiten/sonota.htm

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Q水素類似原子の軌道縮退

水素類似原子は
なぜ2s軌道と2p軌道のエネルギーが
一緒（縮退している）なのですか？
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Aベストアンサー

確かに他に電子が無いから、というのが効いていますね。
量子化学の教科書（例えば裳華房、基礎化学選書12　量子化学　原だ義也など）の水素原子（および水素様原子）と一般の原子の項を比較されると良いかと思います。
数学的には、電子が感じるポテンシャルエネルギーV(r)が1/rに比例した形であるとき、すなわち原子核とのクーロン引力しか存在しない場合には、軌道のエネルギーは主量子数だけで決まります。
しかし一般の原子では、他の電子が存在するため、電子間の相互作用が生じることでV(r)は1/rに比例した形では書けなくなり、角運動量子数にも依存してきます。
直感的に言えば、2p軌道に入っている電子は、より原子核に近い位置に存在する2s軌道の電子により原子核の正電荷を遮蔽されます。
つまり、2s軌道の電子にくらべて、原子核からのクーロン引力を受けにくくなります。従ってクーロン引力による安定化が小さくなり、軌道エネルギーが上昇するわけです。

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