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縮退をわかりやすくお願いします

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  • 質問者：EZOO
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

Ｗｉｋｉをみてもさっぱり何がどうなるのかわかりません。
どなたかわかりやすく、「縮退とは」を教えてください。

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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： yakisoba19
  • 回答日時：

超クリソツな男女の双子のきょうだいがいたとしましょう。


2人とも同じくらいハイテンションで、見た目にはさっぱりどっちがどっちか分かりません。「縮退している状態」です。

何とかこいつらを見分けたいと、エサ（エッチなDVD）をちらつかせました。
するとどうでしょう！一方（男）はますます興奮し、他方（女）はあきれ返ってしらけてしまいました。無事、両方の区別がつきましたとさ。

これが、「縮退が解けた」状態です。
ゼーマン分裂で言えば、このエッチなDVDが磁場に相当します。
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この回答へのお礼

レス有難う御座います。

自分のレベルの回答を有難う御座いますｗ
やはりなんとなくですが分かりました。


有難う御座いました！

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お礼日時：2007/08/22 12:02

No.2

  • 回答者： connykelly
  • 回答日時：

このサイトのココ↓をご覧下さい。



http://okwave.jp/qa159262.html

参考URL：http://okwave.jp/qa159262.html
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この回答へのお礼

リンク有難う御座いました！

リンク先も難しかったです・・・Orz

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お礼日時：2007/08/22 12:00

No.1

  • 回答者： rabbit_cat
  • 回答日時：

つまり、固有値問題で固有方程式が重解をもつことです。


このとき、
２つ以上の異なる固有ベクトルが、同じ固有値を持つ
ことになります。

例えば、量子力学では、物体のエネルギーなどの物理量は、演算子の固有値で表されます。
縮退していなければ、ある固有値（＝エネルギー）をもつ固有ベクトル（＝物質の状態）は１つのみです。
ということは、何らかの手段でエネルギーの大きさを測れば、物質の状態を区別できることになります。ところが、縮退していると、同じエネルギーをもつ状態が複数あることになります。この場合は、エネルギーの大きさだけでは、物質の状態を完全に区別することができません。


※固有値問題とは関係なく、単に、なんらかの２次方程式（とかn次方程式）が重解をもつ（２次方程式であれば判別式Ｄ＝０）となることを「縮退」ということもあるような気もします。
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この回答へのお礼

レス有難う御座います。

なんとなくですけど、分かりました。
何に使うのかは、おそらく理解を超えていると思うので・・・Orz


有難う御座いました！

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お礼日時：2007/08/22 11:59

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Q量子力学　縮退

シュレディンガー方程式を具体的に解くことができ，波動関数が求まっているときに縮退のあるなしは以下のような考えで判断できますか？

具体的にもとまったエネルギー固有値に対して，エネルギー固有状態が1つ定まるため縮退はない

たとえば
エネルギー固有値En
に対して
エネルギー固有状態が
sin(C En x)
だった場合，関数の形から縮退なし
のように考えるということです．

わかりにくくてすみません．
また上の考え方が正しいとき縮退があるような形のエネルギー固有関数の形はどのようなものですか？

Aベストアンサー

特定のエネルギーを持つ状態が２つ以上ある時に、縮退していると言います。
固有関数を見ても縮退しているか否かの情報は一切得られません。

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Qエネルギー準位の縮退に関して

現在、半導体物性を勉強中の初心者です。

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Aベストアンサー

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一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
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という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか？教えてください（泣

Aベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか．
どうも困ったもんですね～．

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です．
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます．

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん，nx = ny = nz = 1 の
ただ１通りだけ．
したがって基底状態の縮退度は１．

最初の励起状態は，nx,ny,nz のうち１つが２，残り２つが１というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね．
nx,ny,nz のうちどれかが２だというのだから，３通りの可能性があります．
すなわち，縮退度は３．

２番目の励起状態は，nx,ny,nz のうち２つが２，残り１つが１というやつで，
これも３通りの可能性があるから，縮退度は３．

つまり，エネルギーを決めると，nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので，
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です．
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです．

幾何学的には，nx,ny,nz の３次元空間で，球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき，その球面が通る格子点の数はいくつか，と言う問題になっています．

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そこらあたりまで要求されているんでしょうか？

それから，もし粒子が電子だとすると，nx,ny,nz を指定しても，
その他にスピンの自由度２があります．
スピンまで考慮すれば，縮退度は上の計算の２倍になります．

例によって答を教えてくれない先生ですか．
どうも困ったもんですね～．

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です．
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます．

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん，nx = ny = nz = 1 の
ただ１通りだけ．
したがって基底状態の縮退度は１．

最初の励起状態は，nx,ny,nz のうち１つが２，残り２つが１というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね．
nx,ny,nz のうちどれかが２だというのだから，３通りの可能性があります．
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Qブリュアンゾーンの物理的な意味

　ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
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Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか？
⇒
＃１で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか？
⇒
例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元（x-y平面）の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。ｙ軸方向のベクトルと、ｘ軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
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いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
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この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか？
⇒
＃１で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか？
⇒
例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元（x-y平面）の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。ｙ軸方向のベクトルと、ｘ軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

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Q水素類似原子の軌道縮退

水素類似原子は
なぜ2s軌道と2p軌道のエネルギーが
一緒（縮退している）なのですか？
他に電子がないからですか？
もっと良い説明の仕方ってありませんか？

Aベストアンサー

確かに他に電子が無いから、というのが効いていますね。
量子化学の教科書（例えば裳華房、基礎化学選書12　量子化学　原だ義也など）の水素原子（および水素様原子）と一般の原子の項を比較されると良いかと思います。
数学的には、電子が感じるポテンシャルエネルギーV(r)が1/rに比例した形であるとき、すなわち原子核とのクーロン引力しか存在しない場合には、軌道のエネルギーは主量子数だけで決まります。
しかし一般の原子では、他の電子が存在するため、電子間の相互作用が生じることでV(r)は1/rに比例した形では書けなくなり、角運動量子数にも依存してきます。
直感的に言えば、2p軌道に入っている電子は、より原子核に近い位置に存在する2s軌道の電子により原子核の正電荷を遮蔽されます。
つまり、2s軌道の電子にくらべて、原子核からのクーロン引力を受けにくくなります。従ってクーロン引力による安定化が小さくなり、軌道エネルギーが上昇するわけです。

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Q半導体の縮退って？

半導体の参考書など読んでいるとよく、「縮退」という言葉が出てきます。しかも、どうやらいろいろなケースで使われているようですが、いまいちよくわかりません。

例えば、
・フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
・スピンが上下二種類埋まっているとき。

に関しては分かったのですが、縮退の一般的意味と共に、他のケースについて、どういったときに縮退というのか具体的に教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

物理で縮退という用語は主に２つの意味で使われます．

(1)　mmky さんご指摘の，
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること．
例えば，クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから，
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません．
p 軌道なら３重縮退，d 軌道なら５重縮退．
電子だったら，これにスピンの固有値による２重縮退が加わります．

(2)　電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか，
古典統計でよいかということがあります．
量子統計で扱わないといけない(低温)ときを「縮退している」といいます．
低温かどうかは考えている系のもつ特徴的なエネルギー(例えば，フェルミエネルギー)
を温度に換算したもの(フェルミ温度 T_F)との関連で決まります．
T << T_F なら縮退しています．
縮退ならフェルミ分布関数の分母にある１を無視できないし，
非縮退なら無視してよい(ボルツマン分布になる)というわけです．
sunny_day さんの
> フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
は確かにそのとおりですが，これは縮退のもともとの定義ではありません．
フェルミ準位の位置の結果，そうなっているということです．
なお，フェルミ準位が禁制帯内にあっても，バンド端とのエネルギー差によっては
縮退していることもありえます．

(3)　分子遺伝学でも縮退という用語があります．
1種類のアミノ酸に対応し複数の遺伝子コドンが存在するときにこのように言うようです．
ここら辺は素人なのであまり自信がありません．

物理で縮退という用語は主に２つの意味で使われます．

(1)　mmky さんご指摘の，
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること．
例えば，クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから，
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません．
p 軌道なら３重縮退，d 軌道なら５重縮退．
電子だったら，これにスピンの固有値による２重縮退が加わります．

(2)　電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか，
古典統計でよいかということがあります．
量子...続きを読む

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Q縮退とは？

最近よくCPUやメモリが縮退した！
と、聞きます。縮退とはどういうことなのでしょうか？

Aベストアンサー

片肺運転ということです。
例えば飛行機の両翼のエンジンのうち一つが止まったとします。
でも不思議なことに飛行機は片方だけで飛べます。
素人的にはぐるぐる旋回してしまう気がしますが。

コンピュータも同じようなことができて、二つのＣＰＵのうち一つが壊れてももう一つで動いてくれる、という感じです。
これは物理的にハードが二つ以上あって、一つがダメになっても残りでカバーする仕組みなので、例えば５１２Ｍ一枚のメモリのうち２５６Ｍだけつかうということではありません。
２５６Ｍが二枚あって内１枚を使うということです。

縮退のタイミングは本当に壊れるより前に例えばエラー率などをシステムが監視して、あやしいなと思った段階で自主的に切ってくれます。
だから本当にいきなりバシッと壊れてしまったらたぶんダメでしょう。

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Q電子軌道のエネルギー準位

電子軌道のエネルギー準位は内に行くほど低くなる、と書いてあるのですがエネルギー準位とは何ですか？

また、電子がエネルギー準位の低いところから埋まっていく理由も教えてください。

Aベストアンサー

例えば次のURLを参考にされてはいかがでしょう。

http://hyper-chemistry.blog.so-net.ne.jp/2011-03-02

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Q分配関数（状態和）がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数（状態和）がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか？

またある問題でエネルギー準位ε＝（ｎ＋１/２）ｈνのＮ個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Ｚ＝１/｛２sinh(hν/2kＢ・Ｔ）｝
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和？という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

＞状態というのが量をもっているわけなんですが
＞状態というのはどういう量なんですか？
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを１個振ることを考えてみます。
さいころの目がＸ(x=1～6)になる確率を P(x) とすると、
１の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
　Ｚ＝ΣP(x)
　　＝P(1)+P(2)+…+P(6)
　　＝6*1/6
　　＝1
ということになります。

＞速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか？
さいころで言うと状態は「１の目が出ること」などに対応します。
この場合は６つの状態を取り得ますね。

＞一個に対する状態和？
粒子が一個であっても e_n ＝（ｎ＋1/2）hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の１つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は１つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
　　　：
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか？

＞状態というのが量をもっているわけなんですが
＞状態というのはどういう量なんですか？
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを１個振ることを考えてみます。
さいころの目がＸ(x=1～6)になる確率を P(x) とすると、
１の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。）

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう？
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて１になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって，
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき，λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから，rank(A-λI)=1
よって，固有空間は1次元
だから，本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです．
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます．

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様．A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で，計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります．

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

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