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力積F=mvのような力をエネルギーに変換するとき、この場合速度(v)で積分することにより
E=1/2mv^2となりエネルギーになりますよね?

同様に、W=mgであれば”高さ”で積分でE=mgh

また、V=V0+gt → y=V0t+1/2gt^2 となり、これはtで積分していますよね?

この際に、速度で積分していたり、高さで積分したり、時間で積分していたりしますが…
これはなぜ”速度”だったり”高さ”だった”時間”だったりするのでしょうか?
何を基準にしてそれらで積分をするのでしょうか?
なぜ W=mg → E=1/2mg^2 とかにならないのでしょうか?

その理由が知りたいです。

gooドクター

A 回答 (3件)

おもしろそうな質問なので、付き合いましょう。



「F = mv」は力積ではなく、運動量です。普通、記号pであらわします。

☆この場合速度(v)で積分することにより
E=1/2mv^2となりエネルギーになりますよね?
◇あっさりと速度で運動量を積分すれば運動エネルギーになると言ってくれますね~。
これは、
 Ek = ∫fds = ∫m(dv/dt)ds = ∫m(ds/dt)dv = ∫mvdv = 1/2mv^2 + const
なので、そうなるわけですよ。
 v = ds/dt
なのは、いいですよね。

ずいぶんと粗い議論ですけれど、
数学ではなく物理ですから、アバウトでいいでしょう。

最終的には、mvをvで積分をすれば運動エネルギーになりますけれども、
それは式変形(変数変換、置換積分)の結果であって、
もともとは、力fを移動距離sで積分したというわけです。
 f = m(dv/dt)
は運動方程式ですからいいですよね。

では、次に位置エネルギーをやってみます。
 f=mg
なのはいいですよね。
 ───mgの±の符号は、座標系の取り方によりますので、今の場合は無視してください───
 Ep = ∫mgds = mgs + const
hだけ移動したのですから、s=h
 ∴ Ep = mgh + const
これは、hでmgを積分したわけではなく、
力、重力を移動距離sで積分したから、こうなったというわけです。

ということで、
《運動エネルギーも位置エネルギーも移動距離sで積分した》というわけです。

言っておきますけれども、これはかなり粗い議論です。感覚的な次元での理解にとどめておいてください。
本気で議論しようとしたならば、かなり細かい議論が必要になりますので。


☆また、V=V0+gt → y=V0t+1/2gt^2 となり、これはtで積分していますよね?
◇これは、tでvを積分しています。
sの積分ではないので、エネルギーとはまったく関係のない話です。



☆なぜ W=mg → E=1/2mg^2 とかにならないのでしょうか?
◇gは定数です。gで積分することはできません。gが変化するとしても、
 仕事 = ∫f・ds
ですので、gによる積分は、エネルギーとはまったく関係がありません。

これはアドバイスですけれど、
通常、物理学で仕事はWという記号を使いますので、
重力や加重などの意味でWを使うと、混乱が起きます。
ですから、エネルギーや仕事が出てくる場合は、
重力や加重などの意味でWを使わないことをお勧めします。
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E=1/2mv^2 → 質量は一定。

(変動する余地なし)
        →速さの変動による結果を積み上げたものを得たい。→速さで積分。

E=mgh   → 質量と重力加速度は一定。(変動する余地なし)
        →高さの変動による結果を積み上げたものを得たい。→高さで積分。

y=V0t+1/2gt^2
       → 初速と重力加速度は一定。(変動する余地なし)
        →時間の変動による結果を積み上げたものを得たい。→時間で積分。

 つまり刻々と変化する状況を積み上げたものを得たいなら、刻々と変動する可能性のある値をそれぞれ積み上げれば良いのです。

 逆に加速度の場合は微分しますね。
 速さ(v=l/s)が刻々と変わっているなら、その時々の速さ(の変化)をさらに時間(s)ごとに微細に分析すればよいのです。
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次元がわかってないからこんな質問が出るのでしょう。



ちなみに

>力積F=mvのような力をエネルギーに変換するとき

は記述に2箇所誤りがあります。次元を考慮することがないための基本的な単純ミスです。


力の次元がkgm/sec^2

エネルギーは一のエネルギーmghだろうが運動エネルギーmv^2/2だろうがkg(m/sc)^2

力の次元をエネルギーの次元に変えるにはいくつかのパスがあることに気が付きますか。

こんな話はいろんな方向に展開します。


圧力pは単に面積当たりの力、すなわちN/m^2=(kgm/sec^2)/m^2

これを(kgm^2/sec^2)/m^3

と書き換えてみるとこれは単位体積当たりのエネルギーに等しいことが和解ます。

従って、空間Vが圧力pの気体で満たされているとき、その弾性エネルギーEは

E=∫pdvで与えられます。この時積分範囲はもちろんVです。



力学の話はとても単純ですが電磁気の世界はもっと複雑で次元をしっかり把握していないと

ただただ公式に追いまくられて何もわからなくなる人がいます。

物理学がSI単位系ですべて記述できるということはとても重要で有益なことです。

SI単位系はMKSA単位系と同義です。
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