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電磁波の電気的エネルギーは1/2εE2(2乗)で表されるのですが、その導出の仕方が解りません。
本を見ると、式変形で
E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE2)/∂tとなっており
なぜ、1/2の項がでてきたのか??です。
かなり初歩的なのかもしれませんがよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE^2)/∂t


の誘導についてPoyintingの定理から補足しておきます。
ある体積v中に含まれる電界エネルギーをWとすると、その体積vから流れ出すことによって変化する割合∂W/∂tは
∂W/∂t=∂/∂t{(integral)(1/2εE^2)dv}
ここでD=εE と定義されるので
∂W/∂t=∂/∂t{(integral)(1/2 D^2/ε)dv}={(integral)(D/ε ∂D/∂t)dv} = {(integral)(E∂D/∂t)dv}

積分の内部はエネルギー密度の変化分を表す=流入するエネルギー密度を表すことになります。これに磁界の成分が加わって電磁波エネルギーのフローを表すことになります。これは誘電率εの値によらない表現となりますから、強誘電体内の伝搬にも使用できます。
繰り返しになりますが、電気的エネルギーが1/2εE2であることが前提になった展開です。
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質問者の意図は(推測するに)


D=εE (ε:constant)
の状況のようで,
力学でよくある
v*d(mv)/dt = d(mv^2/2)/dt
と同じ話ではないのでしょうか.(今は偏微分ですが.)
的外れだったらお詫びします.
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E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE^2)/∂t


これは強誘電体のように誘電率εがEによって変化する場合のエネルギー密度変化分dw/dtを与える与える式ではないかと思います。
誘電率が変化しない場合には電界のエネルギー密度wは
w=1/2εE^2
でしょう。この式の導出は静電界での静電エネルギーがW=1/2 ×integral(V・ρ)dv
であることから発しています。これにE=-grad V, divD=ρ を代入します。
 しかし、これは本来静電界のエネルギーを求めたもので、電磁波のような動的なものには適用できないはずです。ところがPoyntingがこの式を仮定することによってエネルギーの流れを示すことができたので以降この式が電磁波にも適用されることになりました。そういう意味では電磁波のエネルギーがこの式で表されるというのは仮定にすぎません。
 実際、実際の伝送線路や機器の内部の電界を定義する方法は一つではなくいくつかの定義が存在します。上式を使ってエネルギーから電界を定義するという方法もその一つなのです。どういう定義を用いるかでこの表式が変ってくるということにご注意ください。
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Q電場のエネルギー密度と静電エネルギー

電磁気学の質問です。

電場のエネルギー密度 1/2 ε_0 E^2 を空間の全体積で積分すると
静電エネルギーになるという式変形は追えるのですが、
この2つの具体的な関係がよくイメージ出来なくて困っています。
静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
何かこれだけでは足りない気がしていて…。

もし、よろしければ、どなたかアドバイスいただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1/2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。(導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分)
この物理的意味を考えてみると、電荷Qの導体自身が静電エネルギーUを持っている物だと考えていたのに、その周りの空間(場)にエネルギーが蓄えられている、という見方も出来るのです。
もっと言えば、電荷eがあるとその周りの空間にある種の歪み(電場)が生じ、その歪みがエネルギーを蓄えていると考えられるわけです。

同じように磁場についても、電荷が動けばその周りの空間に歪み(磁場)が生じ、場自身がエネルギー密度1/2*μ_0 B^2 を持つことが分かります。
磁場や電場による力についても色々式をいじくっていくとマックスウェルの応力と呼ばれる空間(場)に力が働くという表示も得られたりします。

結局何が言いたいのかというと、電磁気学というのは場という考え方に基づいて話を展開することができ、その立場の元では静電エネルギーというのは場そのものがエネルギーを蓄えていると考えられると言うことです。

>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1/2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。(導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分)
この物理的意味...続きを読む

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

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Q抵抗率と導電率がよくわかりません

抵抗率と導電率がよくわかりません
金、銀、銀、アルミ、白金で抵抗率と導電率の高い順番はどうなりますか?

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電気分野からの視点で回答します。
抵抗率…電流の流れにくさ
導電率…電流の流れやすさ



導体の抵抗は長さに比例し断面積に反比例します。導体の抵抗R=ρl/A[Ω]で表されます。


抵抗率ρ(ロー)は※物質によって決まる定数で
ρ=RA/l[Ω・m]←の式で表されます!
Rは抵抗[Ω]
Aは断面積[m×m]
lは長さ[m]


導電率σ(シグマ)は抵抗率の逆数なので
σ=を1/ρ[S/m]で表されます。



抵抗率の高い※物質(金属)順に
白金 1.06pΩ
アルミニウム0.275pΩ
金 0.24pΩ
銀 0.162pΩ

p(ピコ)=10の-9乗のことです。


日常生活において水に例えると!
同じ直径のホースを2本用意
1本は10m もう1本は100m
同じ勢いだと100mのホースが抵抗率が高いといえます!


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