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ゾンマーフェルトの公式
∫[0,∞]D(ε)f(ε)dε = ∫[0,μ]D(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*D'(μ)+・・・
からエネルギーEについての展開式を導くと
∫[0,∞]εD(ε)f(ε)dε = ∫[0,εF]εD(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*D'(εF)+・・・
となることを導きたいのですが、
そのとき、∫[εF,μ]εD(ε)という計算が出てくるのですが、
本来なら、∫[εF,μ]εD(ε) = (μ-εF)εF*D(εF)
となるらしいんですが、自分で計算すると、D(ε)の具体的な表式
D(ε)=Aε^(1/2)を使って計算したところ
∫[εF,μ]εD(ε) = (2/5)A{μ^(5/2)-εF^(5/2)}
となってしまい、(μ-εF)εF*D(εF)になりません。
ご教授願います。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
これは低温展開の式ですから,
μとε_F (F は下付)とは非常に近いのです
(T=0 では μ=ε_F).
別の言い方をすれば,
α = μ-ε_F とすると,α << ε_F です.
こういうことを考慮して,
(1) ∫[ε_F,μ]εD(ε) dε
の計算の時に,被積分関数が ε_F D(ε_F) という定数だと思って
積分の幅 ε_F-μ を単に掛けてしまったのが
(2) (μ-ε_F) ε_F*D(ε_F)
です.
osogard さんの計算からでしたら,
(3) (2/5)A{μ^(5/2)-ε_F^(5/2)}
の { } 内第1項を
(4) (ε_F+α)^(5/2)
= ε_F^(2/5) [1 + α/ε_F]^(5/2)
≒ ε_F^(2/5) [1 + (5/2)(α/ε_F)]
とすれば,(2)が再現できます.
F_P_E さん:
> ついでですが、質問にあるエネルギーの場合の展開式は、
> 少々間違っているように思います。
私も同意見です.
もともと,この公式は,ε=μ 付近でおとなしい関数 g(ε) に対して
(5) ∫[0,∞]g(ε)f(ε)dε
= ∫[0,μ]g(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*g'(μ)+・・・
というものです.
g(ε) を状態密度 D(ε) としたのが質問の最初の式ですが,
エネルギーを求めるときは g(ε) = εD(ε) ですから,
右辺第2項は
(6) (π^2/6)(kT)^2*D'(εF)
じゃいけません(書き間違えた?).
詳しく説明していただきありがとうございます。
エネルギーの展開式のことなのですが、
εD(ε)の微分なので項が2つでてくるのですが、
(π^2/6)(kT)^2*μD'(μ)と(μ-εF)*εF*D(εF)
がキャンセルして、(π^2/6)(kT)^2*D(μ)が残るとしました。
No.1
- 回答日時:
はじめまして。
確かなことはいえませんが。。。一応、学んだことなので、回答したいとおもいます。
さて、問題の式
∫[εF,μ]dε εD(ε) = (μ-εF)*εF*D(εF)
ですが、これは近似式だったように思います。なぜ、近似したのかというと、一般のD(x)だからです。しかし、厳密に計算できる場合には近似する必要はないですよね。おそらく、εF(これはFermiエネルギーのことでしょうか)とμ(これは化学ポテンシャルでしょうか)との差が十分小さいという条件があるはずです。その条件があるなら、厳密に計算した場合と、近似式の値は大きくずれることはないでしょう。
ついでですが、質問にあるエネルギーの場合の展開式は、少々間違っているように思います。
回答ありがとうございます。
ノート見返したのですが、どうやらご指摘の通り近似のようです。
エネルギーの展開式のことなのですが、
εD(ε)の微分なので項が2つでてくるのですが、
(π^2/6)(kT)^2*μD'(μ)と(μ-εF)*εF*D(εF)
がキャンセルして、(π^2/6)(kT)^2*D(μ)が残るとしました。
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