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1.V=-GMm/rがポテンシャルエネルギーの時、保存力-gradVを求めよ。
偏微分を用いて求めよ

2. 1の時,  点(x_1,x_2,x_3)から点(X_1,X_2,X_3)に質量mの粒子がこの力を受けて移動したときの、この力のした仕事えお求めよ。

1の偏微分の計算式解答例と2の解答例をおしえてください

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A 回答 (1件)

1. 1/r のgradが求まればいいですね?grad = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) で、r は (x, y, z) について対称なので ∂r/∂xが求まればよい。


 r = sqrt( x^2 + y^2 + z^2 ) をxで微分すると、∂r/∂x = x / r となる。なので、grad r = (x/r, y/r, z/r)。これは(x, y, z)方向
への単位ベクトルなので e と書くことにする。 grad r = e。F = -grad V = GMm e。
2. これは保存力なので、2点におけるポテンシャルエネルギーの差を求めれば良い。
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Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

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この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

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Q保存力→ポテンシャル→力 の計算過程について

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}

で与えられ、これについてはおそらく計算間違いでない限り

 U(x,y) = 1/4 * (x^4 + y^4) + (x^2)*(y^2)

となると思います。しかしすると、力を求めるときの
 F = -∇U
に以上の式を代入しますと、

 Fx = -ax(x^2 + 2*y^2)
 Fy = -ay(2*x^2 + y^2)

となり、はじめに提示された力とは若干異なる数値がでてきてしまいます。

これについて疑問を抱いたのですが、あまりにも初歩的で手順が間違ってたとは思えず…おそらく何かを勘違いしているのだと思っています。
(恐らく線積分は始点終点の問題があるのでその辺りに原因か)

このようなことは起こり得ますか? それとも計算ミスなのでしょうか…
そもそもこのような検算方法は完全ではないのでしょうか
私の誤解にお気づきになられた方はお教えいただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}...続きを読む

Aベストアンサー

> U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
>      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}
この書き方を見る限り、間違っているのはおそらくこの部分ですね。

積分経路のとり方は色々ありますが、
(0,0)→(x,0)→(x,y)
という積分経路を考えるのであれば、

 U(x,y) = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}
     = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax^3 dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}

のような感じになります。

Q保存力かどうかの判定と位置エネルギーの求め方

F~=-kxh-kyi-kzj についてこの力が保存力と非保存力のどちらかであるかを、理由をつけて述べなさい。
また保存力であれば位置エネルギーをもとめなさい。ただし~はベクトル、h,i,jはそれぞれx、y、z方向の単位ベクトルとする。
という問題なのですが保存力かどうかの判定は∇×F~=0となれば保存力であることがわかったのですがそこの計算の仕方がいまいちわかりません。また位置エネルギーの求め方もわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

位置エネルギーの定義から

r=(x, y, z), r0=(x0, y0, z0)、E=-∫F・dr(経路は原点からr0まで)

が、原点を基準にした r0 での位置エネルギー。

積分すれば E = (1/2)k|r0|^2

Qカフェインをヨウ化カリウム水溶液に溶かして、硝酸ビスマス滴下したら何で橙の沈殿できるのでしょうか

カフェインをヨウ化カリウム水溶液に溶かして、硝酸ビスマス滴下したら何で橙の沈殿できるのでしょうか。
大学の課題で、手元に資料もなくネットで検索しても出てきません。
検索がへたなだけかもしれません。
自力でどうにか探すのが普通なのだと思いますが、こんな不束者に詳しい解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ちょっと調べたらこんな楽しいサイトが、↓^o^
http://www.colawp.com/seasonal/199707/special.html
なになに、「分析化学においてはビスマス・アンチモンの検出試薬として用いられるらしい」などと書いてある。もっと探そう。
2chに「最近大学の実験でカフェインの存在確認の実験で、カフェイン粉末に10%KI溶液と硝酸ビスマス溶液を滴下して橙色沈殿の 有無の確認をするってのをしたんだが、…」てのがあるが、答えて貰ってないみたい。
結局こんな処が、↓
http://pubs.acs.org/cgi-bin/abstract.cgi/iecac0/1942/14/i01/f-pdf/f_i560101a016.pdf?sessid=6006l3
ビスマスのテトライオドビスマス(III) カフェインとしての定量。

Q共役or非共役の見分け方

有機化学や高分子化学の勉強をしているのですが、どういうものが共役で、どういうものが非共役のものなのか、いまいち確信をもって見分けることができません。
なんとなく電子がぐるぐる動いていて、二重結合の位置が常に変わっている(共鳴している?)もののことを共役系と言っている気はするのですが、具体的にどんな形をしたものとか、どんな構造が含まれていたら共鳴していると言うのかがよくわからないでいます。
非常に基礎的なところでつまずいてしまい、なかなか先に進めなくて困っていますので、ぜひご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

共役しているものの代表は、1,3-ブタジエン
H2C=CH-CH=CH2
(単結合と二重結合が交互に存在)です。
二重結合をしている炭素では、隣り合う炭素の上下に伸びているp軌道同士がくっついています(sp2混成軌道はご存じですか?参考URLの図のC1とC2、C3とC4の青い軌道はくっついて1つになっています)。
通常、単結合をしている炭素(sp3混成軌道)には上下に伸びているp軌道はありません。
ところが、共役をしていると、左から2番目のp軌道と3番目のp軌道が近接しているために、単結合であるにも関わらずp軌道同士がくっついてしまって、あたかも二重結合を形成しているかのようになってるんです。
このようにして、炭素4つのp軌道が全部くっついているので、電子は自由に行き来できるのです(非局在化と言います)。共役物質が安定なのはこのためです。

少し踏み込んだ説明をしましたが、わかって頂けましたでしょうか…?

参考URL:http://www.ci.noda.sut.ac.jp:1804/classroom/1998_6_18/Q&A6_18_4.html

共役しているものの代表は、1,3-ブタジエン
H2C=CH-CH=CH2
(単結合と二重結合が交互に存在)です。
二重結合をしている炭素では、隣り合う炭素の上下に伸びているp軌道同士がくっついています(sp2混成軌道はご存じですか?参考URLの図のC1とC2、C3とC4の青い軌道はくっついて1つになっています)。
通常、単結合をしている炭素(sp3混成軌道)には上下に伸びているp軌道はありません。
ところが、共役をしていると、左から2番目のp軌道と3番目のp軌道が近接しているために、単結合であるにも関わらずp軌道同...続きを読む

Q保存力になるための条件

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)  ←(1)
   =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(2)=Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx ←(3)
   =FxΔx+FyΔy+(Fxをyで偏微分)ΔxΔy ←(4)
ここでFx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(Fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン
高次の微少量は無視した・・・らしいです。
W(1)-W(2)={(Fyをxで偏微分)-(Fxをyで偏微分)}ΔxΔy であり
この力が保存力であれば、W(1)=W(2)となることから、
(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分) が導かれる。
逆に(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。
という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で
(1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。

先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗)
皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)  ←(1)
   =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(...続きを読む

Aベストアンサー

(1) の
第二項は Fy(x+Δx,y)Δy
ですよね単位は仕事量なので。

xについての一次までのテイラー展開で

Fy(x+Δx) = Fy(x)+d(Fy(x))/dx *Δx

となるので、(1)に代入すれば良いと思います。

テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。

Q双極子モーメントの求め方について

薬学1回生です。有機化学の教科書で、双極子モーメントというものがあるのですが、求め方がよくわかりません。教科書にはμ=q×r(q:電荷、r:両電荷間の距離)と書いてあります。
いったいどこを見て電荷や両電荷間の距離がわかるのですか?表などがあるのでしょうか?
お分かりの方がいらっしゃいましたら、詳しく教えていただけるととてもありがたいです。

Aベストアンサー

>いったいどこを見て電荷や両電荷間の距離がわかるのですか?表などがあるのでしょうか?

薬学1回生ということなので、これからいろいろ知識を獲得していかれることと思います。さて、直接的な答えにはなりませんが、参考URLの「電気陰性度と極性」のところは一読の価値があると思います。また、次のサイトも覗いてみてください。簡単な分子の双極子モーメントが与えられていたり、分子の形と双極子モーメントの関係などが載っています。
 http://www.keirinkan.com/
   ↓
  化学(2)
   ↓
 共有結合によって結びついた物質
以上、ご参考まで。

参考URL:http://www.shse.u-hyogo.ac.jp/kumagai/eac/chem/lec6-2.html

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q重力場とクーロン場が保存力場であることの証明について

重力場やクーロン場が保存力場になるということは一般的には知られていますが、それを証明してみようとおもったのですが、どのように証明できるのかということがわかりません。

一般的にどのようにすればこれを証明することができるでしょうか?

回答お待ちしています。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ええと、それらが距離の2乗に反比例する中心に向かう力の場F=-kr^(-2)(の重ね合わせ)の形であることを認めれば証明できます。No、1のとおりです。保存力場であることをいくつか言い換えます。

保存力場である
=スカラーポテンシャルfを持つ(前者のスカラーポテンシャルは通常の高さに酔うる位置エネルギー、後者のスカラーポテンシャルは電位です。)
=rot演算を行うと0になる。参考;rot(grad)fは任意のスカラー場fに対してゼロだからです。fをスカラーポテンシャルとしてみましょう。

結論
その証明は、
第1の方法
それらの場はスカラーポテンシャルを持つ。実際、位置エネルギーや電位が確かにそれらのスカラーポテンシャルとなっている。
第2の方法
rotを計算すると0になる。ゆえに保存力場である。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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