次元解析に関する問題です。 質量mの質点が一辺aの鉄板に衝突し、音波が発生。 衝突前の質点の運動エネ

次元解析に関する問題です。
質量mの質点が一辺aの鉄板に衝突し、音波が発生。
衝突前の質点の運動エネルギーがKとすると、発生した音波の振動数νはどのような式で表せられるか。
といった問題が出ました。　回答者様にとっては基本的な内容であるとは思いますが、解説していただけると幸いです。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2022/05/12 17:06

次元解析では#1さんのようになるのですが、これは質点の速度が板を横切る時間の逆数のq倍。

そもそも板に質点がぶつかった時の音波の周波数をここで与えられたパラメータだけの次元解析で求める事は出来ないのでは無いかと思います。薄いトタン板と部厚い鉄のブロックでは音の高さが違うので、厚さにも関係するはずです。
必要なパラメータは体積弾性率(Pa)あるいはヤング率(Pa)とポアソン比、鉄板の密度(kg/m^3)、板厚(m)、板の幅(m)です。これらを組み合わせて周波数の次元を求めればいいのでは。（なお、体積弾性率と密度から鉄板中での音速(m/s)が求まります）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/12 14:12

＞次元解析に関する問題です

と書いてあるのだから、次元解析するのですよね？

質量 m [kg] = [M]
鉄板の辺の長さ a [m] = [L]
質点の運動エネルギー K [J] = K [N･ｍ] = K [kg･ｍ^2/s^2] = [M･L^2･T^(-2)]　（運動エネルギーなので (1/2)mv^2 ＝ [kg･(m/s)^2] から次元を求めてもよい）
音波の振動数 ν [Hz] = ν [1/s] = [T^(-1)]

以上より
(i) 時間を含むものは K のみで、[T^(-2)] の次元をもつので、ν の [T^(-1)] の次元にするには
　K^(1/2)
とすることが必要。

(ii) K^(1/2) には [M^(1/2)･L] の次元を含むので、これを [M]. [L] について無次元とするためには
　m^(-1/2)
　a^(-1)
をかける必要がある。

(iii) 従って、適当な定数 q を用いて
　ν = q[√(K/m)]/a
あるいは
　ν = q√[K/(ma^2)]
と書ける。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/05/12 16:39