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ゼミの課題です。

ある駅の電車の発車時刻は、
毎時10分、20分、40分、55分です。
発車時刻を知らずに来た人が発車まで待つ時刻を
Xとするときの確率密度関数を答えなさい。

考え方も教えていただきたいです。

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A 回答 (3件)

簡単のために、12人の客が5分ごとに1人ずつ到着すると考えます。


(グラフを書くとやさしいんですが)

2人:正時10分から20分までの間に到着
待ち時間は、0~10分の長方形分布:期待値=5分;密度(1/10)/分
4人:正時20分から40分までの間に到着
待ち時間は、0~20分の長方形分布:期待値=10分;密度(1/20)/分
6人:正時40分から次の正時10分までの間に到着
待ち時間は、0~15分の長方形分布:期待値=7.5分;密度(1/15)/分

ランダムに選んだ1人の待ち時間の分布は、この3つの分布を「重ね合わせ」ればよい。ただし、人数のウエイトをかけてから重ねる必要があります。
その結果:(計算過程で密度単位を省略)

0~10分の範囲の密度合計
(密度(1/10)×ウエイト2/12)+(密度(1/20)×ウエイト4/12)+密度(1/15)×ウエイト6/12)
=密度(1/15)/分

10~15分の範囲の密度合計
(密度(1/20)×ウエイト4/12)+密度(1/15)×ウエイト6/12)
=密度(1/20)/分

15~20分の範囲の密度合計
(密度(1/20)×ウエイト4/12)
=密度(1/60)/分

このように、3つの階段から成る密度図となり、各段の横幅は、10分・5分・5分;密度(高さ)は4:3:1となります。
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hをヘビサイド関数、δをδ関数とし


Tを到着した時間の確率変数とし
pをTの密度関数とし
T=tに到着した人が待つ時間をf(t)とし
qをXの密度関数とする

p(x)=(h(x)-h(x-60))/60

f(t)
=(10-t)・(h(t)-h(t-10))
+(20-t)・(h(t-10)-h(t-20))
+(40-t)・(h(t-20)-h(t-40))
+(55-t)・(h(t-40)-h(t-55))
+(70-t)・(h(t-55)-h(t-60))

q(x)
=∫[-∞,∞]dt・p(t)・δ(x-f(t))
=(1/60)・∫[ 0,10]dt・δ(x-(10-t))
+(1/60)・∫[10,20]dt・δ(x-(20-t))
+(1/60)・∫[20,40]dt・δ(x-(40-t))
+(1/60)・∫[40,55]dt・δ(x-(55-t))
+(1/60)・∫[55,60]dt・δ(x-(70-t))
=(1/60)・∫[ 0,10]dt・δ(t-(10-x)) ;(0<x<10)
+(1/60)・∫[10,20]dt・δ(t-(20-x)) ;(0<x<10)
+(1/60)・∫[20,40]dt・δ(t-(40-x)) ;(0<x<20)
+(1/60)・∫[40,55]dt・δ(t-(55-x)) ;(0<x<15)
+(1/60)・∫[55,60]dt・δ(t-(70-x)) ;(10<x<15)
=(1/60)・(h(x)-h(x-10))
+(1/60)・(h(x)-h(x-10))
+(1/60)・(h(x)-h(x-20))
+(1/60)・(h(x)-h(x-15))
+(1/60)・(h(x-10)-h(x-15))
=(4/60)・(h(x)-h(x-10))
+(3/60)・(h(x-10)-h(x-15))
+(1/60)・(h(x-15)-h(x-20))
=(h(x)-h(x-10))/15+(h(x-10)-h(x-15))/20+(h(x-15)-h(x-20))/60

q(x)=0 (x<0)
q(x)=1/15 (0<x<10)
q(x)=1/20 (10<x<15)
q(x)=1/60 (15<x<20)
q(x)=0 (20<x)
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期待値を求める問題として解答いたします。


毎時10分から20分までの平均待ち時間は 5分,確率1/6
毎時20分から40分までの平均待ち時間は10分,確率2/6
毎時40分から55分までの平均待ち時間は7.5分,確率1/4
毎時55分から10分までの平均待ち時間は7.5分,確率1/4
だから
E(X)=5×(1/6)+10×(2/6)+7.5×(1/4)+7.5×(1/4)
   =25/6+15/4=(50+45)/12=95/12=7+11/12
(答)7+11/12 分=7 分 55 秒
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Q統計学の問題がわかりません。(確率密度関数、期待値など・・)

統計学の問題がわかりません。(確率密度関数、期待値など・・)

全くわからないんで教えてください。
あるバス亭での発車時刻は毎時5分、15分、35分、50分となっている
このバス亭に発車時刻を知らずにきた人が発車まで待つ時間をX分とする

(a)Xの確率密度変数を求めよ
(b)Xが10以上となる確率を求めよ
(c)Xの期待値を求めよ。。

おねがいいたします。。

Aベストアンサー

こんにちは。

毎時のt分にバス停に到着したとします。
5<t≦15 は10分間なので、待ち時間xは、x=10~0 ⇒ x=-t+15

15<t≦35 は20分間なので、待ち時間xは、x=20~0 ⇒ x=-t+35

35<t≦50 は15分間なので、待ち時間xは、x=15~0 ⇒ x=-t+50

-10<t≦5 は15分間なので、待ち時間xは、x=15~0 ⇒ x=-t+5
  ただし、-10では不便なので2つに分けて、
  50<t<60 x=-t-55
  0≦t≦5 x=-t+5

以上のことから、
0≦t≦5 では x=-t+5
5<t≦15 では x=-t+15
15<t≦35 では x=-t+35
35<t≦50 では x=-t+50
50<t<60 では x=-t-55
これが、(a)の答えです。

たぶん、以上のことがわかれば、(b)と(c)は何とかなると思いますが。
(5つの時間帯それぞれの待ち時間の平均値を求めるところから始まります)


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