確率密度関数について

ゼミの課題です。

ある駅の電車の発車時刻は、
毎時10分、20分、40分、55分です。
発車時刻を知らずに来た人が発車まで待つ時刻を
Xとするときの確率密度関数を答えなさい。

考え方も教えていただきたいです。

No.1 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/07/03 15:33

期待値を求める問題として解答いたします。

毎時10分から20分までの平均待ち時間は 5分，確率1/6
毎時20分から40分までの平均待ち時間は10分，確率2/6
毎時40分から55分までの平均待ち時間は7.5分，確率1/4
毎時55分から10分までの平均待ち時間は7.5分，確率1/4
だから
E(X)＝5×(1/6)＋10×(2/6)＋7.5×(1/4)＋7.5×(1/4)
　　　＝25/6＋15/4＝(50＋45)/12＝95/12＝7＋11/12
(答)7＋11/12 分＝7 分 55 秒

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2011/07/03 17:12

hをヘビサイド関数、δをδ関数とし

Tを到着した時間の確率変数とし
pをTの密度関数とし
T=tに到着した人が待つ時間をf(t)とし
qをXの密度関数とする

p(x)=(h(x)-h(x-60))/60

f(t)
=(10-t)・(h(t)-h(t-10))
+(20-t)・(h(t-10)-h(t-20))
+(40-t)・(h(t-20)-h(t-40))
+(55-t)・(h(t-40)-h(t-55))
+(70-t)・(h(t-55)-h(t-60))

q(x)
=∫[-∞,∞]dt・p(t)・δ(x-f(t))
=(1/60)・∫[ 0,10]dt・δ(x-(10-t))
+(1/60)・∫[10,20]dt・δ(x-(20-t))
+(1/60)・∫[20,40]dt・δ(x-(40-t))
+(1/60)・∫[40,55]dt・δ(x-(55-t))
+(1/60)・∫[55,60]dt・δ(x-(70-t))
=(1/60)・∫[ 0,10]dt・δ(t-(10-x))　;（0<x<10）
+(1/60)・∫[10,20]dt・δ(t-(20-x))　;（0<x<10）
+(1/60)・∫[20,40]dt・δ(t-(40-x))　;（0<x<20）
+(1/60)・∫[40,55]dt・δ(t-(55-x))　;（0<x<15）
+(1/60)・∫[55,60]dt・δ(t-(70-x))　;（10<x<15）
=(1/60)・(h(x)-h(x-10))
+(1/60)・(h(x)-h(x-10))
+(1/60)・(h(x)-h(x-20))
+(1/60)・(h(x)-h(x-15))
+(1/60)・(h(x-10)-h(x-15))
=(4/60)・(h(x)-h(x-10))
+(3/60)・(h(x-10)-h(x-15))
+(1/60)・(h(x-15)-h(x-20))
=(h(x)-h(x-10))/15+(h(x-10)-h(x-15))/20+(h(x-15)-h(x-20))/60

q(x)=0 (x<0)
q(x)=1/15 (0<x<10)
q(x)=1/20 (10<x<15)
q(x)=1/60 (15<x<20)
q(x)=0 (20<x)

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/07/05 10:29

簡単のために、１２人の客が５分ごとに１人ずつ到着すると考えます。

(グラフを書くとやさしいんですが)

２人：正時１０分から２０分までの間に到着
待ち時間は、０～１０分の長方形分布：期待値＝５分；密度（１/１０）/分
４人：正時２０分から４０分までの間に到着
待ち時間は、０～２０分の長方形分布：期待値＝１０分；密度（１/２０）/分
６人：正時４０分から次の正時１０分までの間に到着
待ち時間は、０～１５分の長方形分布：期待値＝７.５分；密度（１/１５）/分

ランダムに選んだ１人の待ち時間の分布は、この３つの分布を「重ね合わせ」ればよい。ただし、人数のウエイトをかけてから重ねる必要があります。
その結果：（計算過程で密度単位を省略）

０～１０分の範囲の密度合計
（密度（１/１０）×ウエイト２/１２）＋（密度（１/２０）×ウエイト４/１２）＋密度（１/１５）×ウエイト６/１２）
＝密度（１/１５）/分

１０～１５分の範囲の密度合計
（密度（１/２０）×ウエイト４/１２）＋密度（１/１５）×ウエイト６/１２）
＝密度（１/２０）/分

１５～２０分の範囲の密度合計
（密度（１/２０）×ウエイト４/１２）
＝密度（１/６０）/分

このように、３つの階段から成る密度図となり、各段の横幅は、１０分・５分・５分；密度（高さ）は４：３：１となります。