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独立な正規分布の2乗和の分布はカイ2乗分布で有名ですが、
4乗和の分布が知りたいです。
(1)カイ2乗分布のように定式化されたものがあるのか?
(2)定式化されたものがなければ、カイ2乗分布の誘導過程からの類推で導きたい。カイ2乗分布の誘導過程を教えて欲しい(自由度2以上)。

なお、指数分布の和がガンマ分布になる誘導過程もよくわかっていません。(2)の場合は、その部分も教えて下さい。

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A 回答 (2件)

\sqrt: √   \int: ∫   \frac{x}{y}: x/y   \exp[x]: e^x   とします.



ここでは一般に,独立な標準正規分布(平均0,標準偏差1)の 2*m 乗和(m=1,2,...)に関する確率密度関数を求めることにします.
まず,X^4 の分布の確率密度関数は次のようになります.

g1(t)   =   \frac{1}{\sqrt{2π}}・\frac{1}{m}・t^{1/(2*m)-1}・\exp[-frac{1}{2}・t^{1/m}]

次に,X1^4  +  X2^4 の分布の確率密度関数は次の積分を計算すれば出ますが,一般的には計算できません.
g2(t)   =   \int_0^t g1(t-x)*g1(x) dx

m = 1 なら g2(t)   =   \frac{1}{2}・\exp[-\frac{t}{2}] (自由度2のカイ2乗分布)
になります.

X1^4  +  X2^4 +  X3^4 の分布の確率密度関数は次の計算をすればでます.
g3(t)   =   \int_0^t g2(t-x)*g1(x) dx
当然ですが,m = 1 なら自由度3のカイ2乗分布になります.
この後は予想できますね.

この回答への補足

まず、X1の確率密度分布を求め、
その条件下でX2の確率密度分布を求めるということを
順次行うということですね?
自由度1000とかだと大変なことになりそうですね。

ありがとうございます。

補足日時:2007/03/24 12:00
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(2)ですけど、前、紹介したページに自由度1だけじゃなくて、自由度nのカイ2乗分布がガンマ分布になるという導出が載っていますが。



とりあえず、もし4乗和をきれいに定式化できる可能性があるとするならば、あのページのように、自由度1の場合について母関数を求めて、それの再帰性を証明する、って流れになると思われますので、それを試してみてください。
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