ηは、平均0、分散σ^2の確率変数とします。

この時
E[η^4]=3σ^4
と導出できるとテキストにあるのですが、
これが導出できません。

なぜ係数が3になるのでしょうか。
単純に、E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4
では駄目なのでしょうか?

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A 回答 (6件)

えぇと, まず


「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」

「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

で, 「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.

この回答への補足

えぇと, まず
「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」

「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

お言葉、ありがとうございます。

『「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.』

また重ねて、ありがとうございます。
私では手に負えないというのが、ひしひしと伝わってくるのですが、
指針がいただけ、誠にありがとうございます。
自分で調べながら、再度計算を試みたいと思います。

本当にありがとうございました。

補足日時:2011/08/03 17:02
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>P(η)は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。


>そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

この言葉にはあきれた。
なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。

疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。

たいたい#3の補足にある
>η P(η) が不定積分できる
>この点は理解できていると思っています。

からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。

この回答への補足

「この言葉にはあきれた。
 なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
 単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。」

この点に関しまして、御怒りになられるのもごもっともかもしれません。
私は、数学に関しての能力は高くありません。
それでも、必要に迫られて自分なりに調べ、
出来るだけ失礼のないようにと思って質問したのですが、
それでもやはり、質問するに値しない能力だったのだと反省しております。
確率分布自体、理解しきれていないので、とても不安に思い、
お聞きしてしまいました。申し訳ございませんでした。

「単に具体的な表式をいれて計算するだけ」、
だとは思いますが、それが簡単ではない私としては、
出来ると理解をしたうえで、計算したいと考えました。
これを怠慢だとのご指摘は、全くその通りだと思います。


「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」
これに対して、
「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
という言葉もございます。聞かぬことで、わたく自身、
人よりも大きく後れを取っております。

「からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。」

この点は、実際に自分で解けるかどうかを問題にしているということを理解できず、
一般的にできるかどうかを聞いていると考えた結果の補足です。
ただ、このような理解が正しいかどうかも不安な状態です。

補足日時:2011/08/03 12:11
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#2のものです。



>∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη=
> η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

?
この積分、P(η)の具体的な表式を入れないと無理です。(慣れた人なら一目でしょうが)
#3の方がおっしゃられるとおり、∫ηP(η)dη (不定積分)がわかっていれば簡単なのに。
#3の方が言っているのはこいつの定積分の値じゃないですよ。不定積分。それを利用してη^4*P(η)を部分積分する際の分け方を決めるんです。

ηP(η)の式とそれの不定積分を実際に計算してみてください。

この回答への補足

正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であることは調べました
(さも当たり前かのように、例示してありました)。
ということは、一般的に知られている。
何らかの証明がなされていると思いました。

P(η)は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。
そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

補足日時:2011/08/03 07:35
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正規分布の確率密度関数 P(η) に対し


η P(η) が不定積分できる
ということはいいでしょうか?

この回答への補足

η P(η) が不定積分できる
この点は理解できていると思っています。

ηが値で、P(η)がそれに対する確率密度であると理解しています。

補足日時:2011/08/02 22:55
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>E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4



なら、
E[η^4]=E[η]*E[η^3]=0+E[η^3]=0にならないの?
それ以前に
E[η^2]=E[η]*E[η]=0
にならないの?

そんな計算成り立ちません。

あと、平均と分散のみでE[η^4]を出すことは出来ません。
確率密度関数が与えられている必要があります。
尖度が3であることからこれは正規分布だと思いますが、書いていないので推測に過ぎません。

実際に計算するには
E[η^4]=∫[-∞,∞]η^4*P(η)dη
を計算すればよい。
正規分布であれば、部分積分をつかいE[η^2]の式が出てくるように変形すればよいでしょう。

この回答への補足

おっしゃる通りです。正規分布です。

σ^2=∫[-∞,∞](η-0)^2 P(η)dηについて

ここで、
(η-0)^2=η^2より
σ^2=∫[-∞,∞]η^2 P(η)dηよって
σ^2=E[η^2]
となると思います。
この式が出てくるように部分積分を考えるとなると…。


∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη=
 η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

………間違っています。
どうしたらよいのでしょうか。

補足日時:2011/08/02 18:00
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うん, これだけの条件では無理だね.



ところで
E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4
としていいなら同じように
E[η^2]=E[η^1・η^1]=E[η^1]・E[η^1]=0
となっていいとは思いませんか?

この回答への補足

おっしゃる通りです。
わからないときは、自分でもよくわからないことを考えてしまいます。

補足日時:2011/08/02 17:32
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そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
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[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
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[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

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同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
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同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

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[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
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[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
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g:[x']→[y']
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あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

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期待値の計算はどのように行うでしょうか?

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またあるサイトでは、

期待値 = 勝率 × 利益 - 損失 × (1 - 勝率)

となっていました。

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一回のトレードに対する期待値={勝率*平均利益-(1-勝率)*平均損失}/トレード回数

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Q期待値とはどのようにして計算しますか?

期待値1以上の馬券を買えとかここでも言われていますが、期待値とはどのようにして計算しますか?
幻想のような気がするのですが、あるサイトでは

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とありましたが、この予想的中率とはどのようにして計算しますか?

単に過去の的中率?となれば自分の的中率となるのでしょうか?

例えば高松記念のローレルレゲイロの単勝7.6に何の数字をかければいいのでしょうか?

以上、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>期待値1以上の馬券を買えとかここでも言われていますが、期待値とはどのようにして計算しますか?

話を簡単にするために単勝の話にします。

その馬の単勝のオッズ×その馬のそのレースで勝つ確率

となります。

>例えば高松記念のローレルレゲイロの単勝7.6に何の数字をかければいいのでしょうか?

ローレルレゲイロの勝つ確率が1/8であるならば期待値は

7.6×1/8=7.6/8<1

となり期待値は1を割ります。

ローレルレゲイロの勝つ確率が1/8であるならば期待値は

7.6×1/7=7.6/7>1

となり期待値は1を上回ります。
もちろん期待値が1を上回れば必ず勝つということではありません、勝つこともあるし負けることもあります。
しかしこのように期待値が1を上回る馬を買い続ければ、当たるときもあれば外れるときもあるが、長い間では結局プラスになるということです。
また期待値が1を上回る馬が毎レースいるとは限りません、数レースに1頭、1日に1頭、いや1ヶ月に1頭かもしれません(あるいは1年に1頭?)。

さて「その馬の単勝のオッズ」は簡単にわかりますね、では「その馬のそのレースで勝つ確率」はどうやって出すのでしょう?
それが判ればまさにそれは競馬必勝法です。
競馬で儲けようとする人は「その馬のそのレースで勝つ客観的な確率」を追い求めているのです。
しかしそれは

>幻想のような気がするのですが

かもしれません。
ただそれに迫るアプローチとして、よく競馬雑誌などの出ている馬の能力指数などはある程度使えるかもしれませんが、やはりどうしても主観が入り客観的とはいえない部分があるかもしれません。
ですから個人的にその馬の能力を客観的な数字に変えられれば、必勝法に多少なりとも近づくかもしれません。
ちなみによく「この馬でこのオッズはおいしい」というようなことがありますが、これも本人は意識していないとは思いますが主観的な「その馬のそのレースで勝つ確率」と「その馬の単勝のオッズ」で無意識に期待値を計算してそれが高い(1を超えるかどうかは別として)と言うことを感じていると言うことだと思いますが。

>期待値1以上の馬券を買えとかここでも言われていますが、期待値とはどのようにして計算しますか?

話を簡単にするために単勝の話にします。

その馬の単勝のオッズ×その馬のそのレースで勝つ確率

となります。

>例えば高松記念のローレルレゲイロの単勝7.6に何の数字をかければいいのでしょうか?

ローレルレゲイロの勝つ確率が1/8であるならば期待値は

7.6×1/8=7.6/8<1

となり期待値は1を割ります。

ローレルレゲイロの勝つ確率が1/8であるならば期待値は

7...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q数学 期待値の計算で解けない問題があるので解き方を教えてください。

数学 期待値の計算で解けない問題があるので解き方を教えてください。

宝くじ1ユニット(1千万本)のおける各等の当選金と本数は以下のとおり、1千万本の中の各々のくじを購入する確率は等しいと仮定したとき、当選金の期待値を求めなさい。
等級        当選金    本数
1等        2億円    1本
1等の前後賞    5千万円   2本
1等組違い賞     10万円    99本
2等         1億円    1本
3等         1千万円   10本
4等         100万円   200本
5等         3千円    10万本
6等         300円    100万本
特別賞        1万円     1万本

いちを、計算してみましたら結果:期待値=140,99円になったのですが。。あまり自信がありません。どなたか解き方を教えて下さったら助かります。
有難うございます。

Aベストアンサー

答えはそれで合ってると思いますが…一応(・ω・)

まず期待値は
それぞれの
等級がでる確率×当選金
を足していくことによって求めることができます。

確率の分母はすべての等級において10000000なので、最後に1/10000000をかけるとして、まずは等級×当選金だけ計算していきます。

200000000×1=200000000
50000000×2= 100000000
100000×99=  9900000
100000000×1=100000000
10000000×10=100000000
1000000×200=200000000
3000×100000=300000000
300×1000000=300000000
10000×10000=100000000
――――――――――――
     計 1409900000

で、1/10000000をかけて
140.99になります。

Q2.5×10^15 [cm^(-3)]=2.5×10^9 [m^(-3)]?

2.5×10^15 [cm^(-3)]と2.5×10^9 [m^(-3)]
は、同じ値ですか?

Aベストアンサー

違うのでは。

10^2 [cm] = 1 [m] だから、
10^6 [cm^3] = 1 [m^3]
10^(-6) [cm^-3] = 1 [m^(-3)]

よって、2.5×10^15 [cm^(-3)]=2.5×10^21 [m^(-3)]
6桁ずれるのが正負逆では。
感覚的には、1立方センチ当たりの個数<<1立方メートル当たりの個数
という感じです。

Q統計学初心者: 分散の計算式の種類と その違いは? なぜ期待値のときの式と異なる

初心者です

母集団の分散Y=

  n
[ シグマ {(観測値 - 平均値)^2}] / n
  i=1

観測値が平均値までどれくらい離れているかを2乗した結果をすべて合計して、それを nで割っています。なんとなく分かりやすいです。

    30
    20
   △10
   △20

の4個の値があれば、30+20+(-10)+(-20)=20
よって、20÷4個=平均5

上の分散の式に入れると、
 (30-5)^2
+ (20-5)^2
+ (-10-5)^2
+ (-20-5)^2
------------
1700

1700 / 4 = 425 となりました。


一方で、
サンプルから母集団を推定するときは、上の式の分母を 
( n - 1 )にするそうです。不偏分散。ここは、本当は理解できませんがここでの趣旨と異なるので飛ばします、パス。


ところで、すこし戻りますが、
期待値が入ると上の式の分母がなくなるように見えます。なぜでしょうか(まったく別の世界のことでしょうか)?
 
     値    発生確率
    30     20%
    20     40%
   △10     20%
   △20     20%
  ------  -----
          100%

上の4個の確率変数と呼ぶのかどうか知りませんが、期待値?が4個あって、各々の発生確率が示してあります。全部の? 期待値は、

 n
シグマ{発生確率i x 期待値i} = 平均のようなものでしょうか。
 i=1

これの答えは、20%x30+40%x20+。。。=8

ようやく本題ですが、
ここでの 8は 平均的な値なので、発生確率をともなって、結構 散らばっております。そこで分散なるものを計算する式が、次のようなものだそうで、質問の最初の分散の式と 意味が 何か違うのかを解説下さい。 お願いします。

  分散=

  n
シグマ{ 確率i x ( 期待値i - 期待値の平均)^2 }
 i=1    


答え= 376

初心者です

母集団の分散Y=

  n
[ シグマ {(観測値 - 平均値)^2}] / n
  i=1

観測値が平均値までどれくらい離れているかを2乗した結果をすべて合計して、それを nで割っています。なんとなく分かりやすいです。

    30
    20
   △10
   △20

の4個の値があれば、30+20+(-10)+(-20)=20
よって、20÷4個=平均5

上の分散の式に入れると、
 (30-5)^2
+ (20-5)^2
+ (-10-5)^2
+ (-20-5)^2
------------
1700

170...続きを読む

Aベストアンサー

30の発生確率が20%ということは10回のうち2回が30ということなので、

>     値    発生確率
>    30     20%
>    20     40%
>   △10     20%
>   △20     20%
>  ------  -----
>          100%

は全部で10回の測定だと

     値
    30
    30
    20
    20
    20
    20
   △10
   △10
   △20
   △20
-------
計   10個



母集団の分散Y=

  10
[ シグマ {(観測値 - 平均値)^2}] / 10
  i=1

で計算したものと同じです。

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。


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