期待値を求める問題はとりあえず確率を全部出せばいいってことで答えは出せるのですが、なぜそれぞれの確率

期待値を求める問題はとりあえず確率を全部出せばいいってことで答えは出せるのですが、なぜそれぞれの確率を足すと期待値（平均値）になるんですか？
それぞれの平均＝合計/個数の和ってことですか？

質問者からの補足コメント

• それぞれの確率を足す、は誤った表現でした。
  それそれの得られる値と確率の積の和ですね。
  
  高校数学でよくある宝くじの当選金額の例題もテンプレ通りの計算で解けるが理屈がわからない、という状態です

    補足日時：2023/07/08 23:40

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/11 21:45

まずは、独立試行1回について確率pで起こる事象Xを考えます。

すると、n回独立試行をやったら、nがうんと大きいとき、Xがおおむね np回生じる。

　その理由は：独立試行をn回やったうちでXがk回生じる確率は、二項分布
　　B(p,n;k) = nCk (p^k)((1 - p)^(n - k))
に従う。pとnを定数としたとき、この分布をプロットするとk=npのところにピークがある単峰形になり、実際、平均はnp, 標準偏差は√(np) です。ということは、k がnp に近い値になる確率が高く、kがnpとかけ離れた値になる確率は低い。
　この傾向はnが大きいほど著しく、n→∞の極限でk/nはpに収束する。というわけで、nがうんと大きいとき、n回独立試行をやったら、Xがおおむね np回生じる。

　さて、独立試行1回について、確率p[1]で事象X[1], 確率p[2]で事象X[2], …, 確率p[m]で事象X[m]が起こり、そして、事象X[r]が起こった時には賞金A[r]が得られる、という場合を考えます。

　すると同様に、n回独立試行をやったら、nがうんと大きいとき、X[r](r=1,2,..., m)がそれぞれおおむね np[r]回生じる。したがって、得られる賞金総額Tはおおむね
　　T ≒ np[1] A[1] + np[2] A[2] + … + np[m] A[m]
となる。
　そこで「試行1回あたりの賞金」を考えると、おおむね
　　T/n ≒ p[1] A[1] + p[2] A[2] + … + p[m] A[m]
である。そして、n→∞の極限では（もはや「おおむね」ではなくて）
　　T/n → p[1] A[1] + p[2] A[2] + … + p[m] A[m]
に収束する。
　で、この右辺を「期待値」っていうんです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/08 23:35

＞なぜそれぞれの確率を足すと期待値（平均値）になるんですか？

いや、それは間違っています。

「期待値」は、それぞれの「実現値」とその「確率」の積を足し合わせるのです。
つまり
　Σ{x･P(x)} または ∫{x･P(x)}dx　　　①
です。

あなたが考えているのは「すべての実現値が等しい」かつ「①の結果が =1 になる」場合ですよね。

サイコロでいえば
１の目の出る確率：1/6
２の目の出る確率：1/6
３の目の出る確率：1/6
４の目の出る確率：1/6
５の目の出る確率：1/6
６の目の出る確率：1/6
なので、「出る目の期待値」は
　1 × (1/6) + 2 × (1/6) + 3 × (1/6) + 4 × (1/6) + 5 × (1/6) + 6 × (1/6)
= 3.5
です。

100本のくじで、
・１等１本：１万円
・２等３本：５千円
・３等５本：千円
・４等10本：500円
だったら、くじを1つ引いたときの期待値は
　10000 × (1/100) + 5000 × (3/100) + 1000 × (5/100) + 500 × (10/100)
= 350 円
です。このくじが「1回500円」だったら引きますか？