No.1ベストアンサー
- 回答日時:
\sqrt: √ \int: ∫ \frac{x}{y}: x/y \exp[x]: e^x とします.
ここでは一般に,独立な標準正規分布(平均0,標準偏差1)の 2*m 乗和(m=1,2,...)に関する確率密度関数を求めることにします.
まず,X^4 の分布の確率密度関数は次のようになります.
g1(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}}・\frac{1}{m}・t^{1/(2*m)-1}・\exp[-frac{1}{2}・t^{1/m}]
次に,X1^4 + X2^4 の分布の確率密度関数は次の積分を計算すれば出ますが,一般的には計算できません.
g2(t) = \int_0^t g1(t-x)*g1(x) dx
m = 1 なら g2(t) = \frac{1}{2}・\exp[-\frac{t}{2}] (自由度2のカイ2乗分布)
になります.
X1^4 + X2^4 + X3^4 の分布の確率密度関数は次の計算をすればでます.
g3(t) = \int_0^t g2(t-x)*g1(x) dx
当然ですが,m = 1 なら自由度3のカイ2乗分布になります.
この後は予想できますね.
この回答への補足
まず、X1の確率密度分布を求め、
その条件下でX2の確率密度分布を求めるということを
順次行うということですね?
自由度1000とかだと大変なことになりそうですね。
ありがとうございます。
No.2
- 回答日時:
(2)ですけど、前、紹介したページに自由度1だけじゃなくて、自由度nのカイ2乗分布がガンマ分布になるという導出が載っていますが。
とりあえず、もし4乗和をきれいに定式化できる可能性があるとするならば、あのページのように、自由度1の場合について母関数を求めて、それの再帰性を証明する、って流れになると思われますので、それを試してみてください。
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