ηは、平均0、分散σ^2の確率変数とします。

この時
E[η^4]=3σ^4
と導出できるとテキストにあるのですが、
これが導出できません。

なぜ係数が3になるのでしょうか。
単純に、E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4
では駄目なのでしょうか?

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A 回答 (6件)

えぇと, まず


「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」

「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

で, 「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.

この回答への補足

えぇと, まず
「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」

「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

お言葉、ありがとうございます。

『「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.』

また重ねて、ありがとうございます。
私では手に負えないというのが、ひしひしと伝わってくるのですが、
指針がいただけ、誠にありがとうございます。
自分で調べながら、再度計算を試みたいと思います。

本当にありがとうございました。

補足日時:2011/08/03 17:02
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>P(η)は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。


>そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

この言葉にはあきれた。
なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。

疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。

たいたい#3の補足にある
>η P(η) が不定積分できる
>この点は理解できていると思っています。

からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。

この回答への補足

「この言葉にはあきれた。
 なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
 単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。」

この点に関しまして、御怒りになられるのもごもっともかもしれません。
私は、数学に関しての能力は高くありません。
それでも、必要に迫られて自分なりに調べ、
出来るだけ失礼のないようにと思って質問したのですが、
それでもやはり、質問するに値しない能力だったのだと反省しております。
確率分布自体、理解しきれていないので、とても不安に思い、
お聞きしてしまいました。申し訳ございませんでした。

「単に具体的な表式をいれて計算するだけ」、
だとは思いますが、それが簡単ではない私としては、
出来ると理解をしたうえで、計算したいと考えました。
これを怠慢だとのご指摘は、全くその通りだと思います。


「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」
これに対して、
「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
という言葉もございます。聞かぬことで、わたく自身、
人よりも大きく後れを取っております。

「からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。」

この点は、実際に自分で解けるかどうかを問題にしているということを理解できず、
一般的にできるかどうかを聞いていると考えた結果の補足です。
ただ、このような理解が正しいかどうかも不安な状態です。

補足日時:2011/08/03 12:11
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#2のものです。



>∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη=
> η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

?
この積分、P(η)の具体的な表式を入れないと無理です。(慣れた人なら一目でしょうが)
#3の方がおっしゃられるとおり、∫ηP(η)dη (不定積分)がわかっていれば簡単なのに。
#3の方が言っているのはこいつの定積分の値じゃないですよ。不定積分。それを利用してη^4*P(η)を部分積分する際の分け方を決めるんです。

ηP(η)の式とそれの不定積分を実際に計算してみてください。

この回答への補足

正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であることは調べました
(さも当たり前かのように、例示してありました)。
ということは、一般的に知られている。
何らかの証明がなされていると思いました。

P(η)は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。
そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

補足日時:2011/08/03 07:35
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正規分布の確率密度関数 P(η) に対し


η P(η) が不定積分できる
ということはいいでしょうか?

この回答への補足

η P(η) が不定積分できる
この点は理解できていると思っています。

ηが値で、P(η)がそれに対する確率密度であると理解しています。

補足日時:2011/08/02 22:55
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>E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4



なら、
E[η^4]=E[η]*E[η^3]=0+E[η^3]=0にならないの?
それ以前に
E[η^2]=E[η]*E[η]=0
にならないの?

そんな計算成り立ちません。

あと、平均と分散のみでE[η^4]を出すことは出来ません。
確率密度関数が与えられている必要があります。
尖度が3であることからこれは正規分布だと思いますが、書いていないので推測に過ぎません。

実際に計算するには
E[η^4]=∫[-∞,∞]η^4*P(η)dη
を計算すればよい。
正規分布であれば、部分積分をつかいE[η^2]の式が出てくるように変形すればよいでしょう。

この回答への補足

おっしゃる通りです。正規分布です。

σ^2=∫[-∞,∞](η-0)^2 P(η)dηについて

ここで、
(η-0)^2=η^2より
σ^2=∫[-∞,∞]η^2 P(η)dηよって
σ^2=E[η^2]
となると思います。
この式が出てくるように部分積分を考えるとなると…。


∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη=
 η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

………間違っています。
どうしたらよいのでしょうか。

補足日時:2011/08/02 18:00
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うん, これだけの条件では無理だね.



ところで
E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4
としていいなら同じように
E[η^2]=E[η^1・η^1]=E[η^1]・E[η^1]=0
となっていいとは思いませんか?

この回答への補足

おっしゃる通りです。
わからないときは、自分でもよくわからないことを考えてしまいます。

補足日時:2011/08/02 17:32
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フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
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そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Q(1,2,3,…,n)の置換σでσ[1]<σ[2]>…<σ[n]などとなったとき

ふとした疑問です。
(1234)を並び替えて、(abcd)となったとします。
a<b<c<dとなるとき、
(1234)で場合の数は1
a<b<c>dとなるとき、
(1243),(1342),(2341)で場合の数は3
a<b>c<dとなるとき、
(1324),(1423),(2314),(2413),(3412)で場合の数は5
以下、対称性を考えると、
a<b>c>dとなる場合の数は3
a>b<c<dとなる場合の数は3
a>b<c>dとなる場合の数は5
a>b>c<dとなる場合の数は3
a>b>c>dとなる場合の数は1
場合の数の合計は、4!=24です。
以上のことを一般にするとどうなるのでしょうか?
(1,2,3,4,…,n)を並び替えて、(σ[1],σ[2],…,σ[n])となったとします。
不等号が、σ[1]<σ[2]>…<σ[n]などとなったとき、
<を0、>を1とみなして、01…0を対応させます。
不等号の組の種類は、00…0から11…1までの2^(n-1)通りあります。
不等号の組が2進法表示でmとなったときの、場合の数はどうなるのでしょうか?

ふとした疑問です。
(1234)を並び替えて、(abcd)となったとします。
a<b<c<dとなるとき、
(1234)で場合の数は1
a<b<c>dとなるとき、
(1243),(1342),(2341)で場合の数は3
a<b>c<dとなるとき、
(1324),(1423),(2314),(2413),(3412)で場合の数は5
以下、対称性を考えると、
a<b>c>dとなる場合の数は3
a>b<c<dとなる場合の数は3
a>b<c>dとなる場合の数は5
a>b>c<dとなる場合の数は3
a>b>c>dとなる場合の数は1
場合の数の合計は、4!=24です。
以上のことを一般にするとどうなるのでしょうか?
(1,2,3,4...続きを読む

Aベストアンサー

ANo.1の続きです。
同じ事を、行列を使ってキレーに表すこともできる。(説明のない記号はANo.1のものと同じ。)

 R(n, P)をn次元縦ベクトル
N(n,P,1)
N(n,P,2)
  :
N(n,P,n)
とする。従って、
T(n,P)=(1,1,…,1)R(n,P)
が成り立つ。

 L[n]はn+1行n列の行列であって、
0、0、0、…、0、0
1、0、0、…、0、0
1、1、0、…、0、0
:   :   :   :   : 
1、1、1、…、1、0
1、1、1、…、1、1
であるとする。
 U[n]もn+1行n列の行列であって、
1、1、1、…、1、1
0、1、1、…、1、1
0、0、1、…、1、1
:   :   :   :   : 
0、0、0、…、0、1
0、0、0、…、0、0
であるとする。

 そうすると、
R(2,<)=L[1]
R(2,>)=U[1]
R(n, P<)=L[n-1]R(n-1,P)
R(n, P>)=U[n-1]R(n-1,P)
が成り立つ。

 だから、
X(P,j)=(Pの右からj文字目が<のときL[j], >のときU[j])
とすると、
R(n, P)=X(P,n)X(P,n-1)X(P,n-2)…X(P,1)
が成り立つ。
(証明はご自分で。)

ANo.1の続きです。
同じ事を、行列を使ってキレーに表すこともできる。(説明のない記号はANo.1のものと同じ。)

 R(n, P)をn次元縦ベクトル
N(n,P,1)
N(n,P,2)
  :
N(n,P,n)
とする。従って、
T(n,P)=(1,1,…,1)R(n,P)
が成り立つ。

 L[n]はn+1行n列の行列であって、
0、0、0、…、0、0
1、0、0、…、0、0
1、1、0、…、0、0
:   :   :   :   : 
1、1、1、…、1、0
1、1、1、…、1、1
であるとする。
 U[n]もn+1行n列の行列であって、
1、1...続きを読む

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。


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