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累積分布関数の意味がよくわかりません。
Wikiの解説も読んでみたのですが、ちんぷんかんぷんでした。
何か良い例を示して、わかりやすく教えていただけないでしょうか。

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A 回答 (2件)

「分布」という言葉の意味はお解りですね。



例えば、「男子の身長は平均を173cmとして分布する」とか言います。
これを、100人に付いて表にすると次のようになりました。
身長(cm) 人数
~155   5
155~160  10
165~170 25
170~175  30
175~180  20
180~   10

さて、これを次の様に書き換えてみます。
身長(cm) 人数  (累積)人数
~155   5 5
155~160  10 15
165~170 25 40
170~175  30 70
175~180  20 90
180~   10 100

今、身長を変数とみてXと表わすと、人数はXの関数とみて
f(X)と書く事ができ、Xの分布関数f(X)と名付けます。

それでは(累積)人数は何でしょうか?
これをF(X)と書く事にすれば、数学的に
F(Xi) = Σf(Xj) と書けます。

Xjは例のヒストグラムの各区分jです。
Σは和を取る事を表し、身長155以下の区分から区分iまでの
和を順次採る事(積算する、累積する)を表しています。

したがって、このF(Xi)を分布関数f(Xi)に対して、
累積分布関数といいます。

Xiが連続的な数なら、変数Xに対する
分布関数 = f(X)、累積分布関数 F(X) = ∫f(t)dt
(積分の範囲は0(又は‐∞)からXまで。)と書く事ができます。

f(X) やF(X) を総人員数Nで割ったものを(確率)密度関数、
累積(確率)密度関数と云う事があります。これは累積密度関数の
最大値が1となる様に規格化されているからです。

f(X) と F(X) の間には f(X) = d(F(X))/dX と云う
関係が有ります。d/dX は微分を表します。
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確率密度関数はわかりますか。



参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q累積分布関数での確率の求め方は?

こんにちは。

[問]累積分布関数をF(x)=
0 (x<-1の時)
(x+2)/4 (-1≦x<1の時)
1 (1≦xの時)
とする。F(x)のグラフを描き,
(1) P(-1/2<X≦1/2)
(2) P(X=0)
(3) P(X=1)
(4) P(2<X≦3)
の値を求めよ。

の解き方がいまいちよく分かりません。
グラフから
P(-1/2<X≦1/2)=(3/8+5/8)×1+1/2=1/2(グラフ中の台形部分の面積)
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1
P(2<X≦3)=1(グラフ中の正方形部分の面積)
として解きましたがこのような解き方でいいのでしょうか?

Aベストアンサー

(1)
P(-1/2<X≦1/2) = F(1/2) - F(-1/2 +0)
 = (1/2 + 2)/4 - (-1/2 + 2)/4


(2)
P(X=0)は、たぶん P(-∞<X≦0)のことでは。

P(X=0) = P(-∞<X≦0)
 = F(0) - F(-∞ +0)
 = (0+2)/4 - 0


(3)
P(X=1)は、多分 P(-∞<X≦1)のことでは。

P(X=1) = P(-∞<X≦1)
 = P(-∞ + 0 ≦X≦1)
 = F(1) - F(-∞ +0)
 = 1 - 0


(4)
P(2<X≦3) = F(3) - F(2 + 0)
 = F(3) - F(2+0)
 = 1 - 1


こちらはご参考。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%AF%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%B8%83%E9%96%A2%E6%95%B0

QエクセルのNORMSINV関数の意味を教えて!!

数学苦手です。
仕事でエクセルを使ってるのですが、
NORMSINV関数を使用しているファイルを使わねばならないにもかかわらず、
この関数が理解できず、行き詰っています。

ググると、「標準正規分布の累積分布関数の逆関数の値を返します。」という説明があったのですが、よく分かりません。1シグマ(68%)の外側かなぁと想像したりしてます。
これはどういうことでしょうか・・・?

正規分布とか標準偏差とか1シグマに68%の確率とか・・・、の基本中の基本は理解しているつもりです・・・。

どなたかご教示いただけないでしょうか。

Aベストアンサー

「数学苦手」のようだから、理解できるかどうかわかりませんが。

NORMSDIST(x)が標準正規分布のxに対する累積分布の確率(ps)を求める関数です。
NORMSINV(ps)は、逆に累積分布の確率(ps)からそれに対応したxを求めるものです。

たとえば、1σに入る確率は、標準正規分布ではσ=1だから、±1σに入るのは、両端を除外するから、NORMSDIST(1)-NORMSDIST(-1)で求められ、0.683になります。
逆に累積分布が0.683になるxの範囲を求めるには、標準正規分布の平均は0で累積分布が0.5(半分)なので、
NORMSINV(0.5-0.683/2)とNORMSINV(0.5+0.683/2)で求められ、x=-1とx=1になります。

なお、標準正規分布でない一般の正規分布では、
NORMDIST(x,av,σ,1)
と、
NORMINV(p,av,σ)
を使います。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q相関係数についてくるP値とは何ですか?

相関係数についてくるP値の意味がわかりません。

r=0.90 (P<0.001)

P=0.05で相関がない

という表現は何を意味しているのでしょうか?
またMS Excelを使ってのP値の計算方法を教えてください。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場合はp=0.1%でもいいと思いますが)
相関係数においても相関の有無を結論つけるにはそのrが偶然出る確率を出すか、5%の確率ならrがどれぐらいの値が出るかを知っておく必要が有ります。

>r=0.90 (P<0.001)

相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下だと言ってます。

>P=0.05で相関がない

相関がないと結論。(間違っている確率は5%以下)だと言ってます。

エクセルでの計算ですが、まず関数CORRELを使ってr値を出します。xデータがA1からA10に、yデータがB1からB10に入っているとして

r=CORREL(A1:A10,B1:B10)

次にそのr値をt値に変換します。

t=r*(n-2)^0.5/(1-r^2)^0.5

ここでnは組みデータの数です。((x1,y1),(x2,y2),・・・(xn,yn))
最後に関数TDISTで確率に変換します。両側です。

p=TDIST(t値,n-2,2)

もっと簡単な方法があるかも知れませんが、私ならこう計算します。(アドインの分析ツールを使う以外は)

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場...続きを読む

Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む

Q累積密度関数の平均値と標準偏差の求め方

累積密度関数の平均値と標準偏差の求め方

ある累積密度関数の平均値と標準偏差でもとめた値(X、Y)が20個ほどあります。
この値から平均値と標準偏差を求めるにはどうしたら良いでしょうか。

単純な式なら連立方程式で解けるとは思いますが。。。
できればエクセル等でできたら嬉しいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ようやく、何がしたいのかが見えてきた(ような気がする)。
改めて、尋常な言葉へ翻訳を試みよう。

画像のような関数 P(I) の値が、I, P(I) の対で 20 組与えられている。
この値から、λ と ζ を求めるにはどうしたら良いか。


P(I) が正規分布の累積分布関数であることや、
λ と ζ がその平均と標準偏差であることは、
問題の内容にはあまり関係がない。

連立方程式として解くなら、具体的な手技はともかく、原理的には、
データは 2 組で足りるはず。20 組もあると、データが過剰なために、
全ての組が誤差なく I, P(I) の対になっている訳ではないことが
露わになってしまう。

してみると、与えられた 20 組の I, P(I) に対して、
誤差が最小になるような λ と ζ を求める問題であるらしい。
「曲線の当てはめ」ってやつだ。
No.2 補足は、前半を無視して、下の2行を読めばよかったのか。

この問題を解くためには、曲線を当てはめる際に
何を「誤差」と定義して、それを最小化する λ と ζ を求めるのか、
要するに、どのような意味で最適な曲線を当てはめたいのか
…を確認して明記する必要がある。
それをして初めて、問題が定義されたことになる。

ようやく、何がしたいのかが見えてきた(ような気がする)。
改めて、尋常な言葉へ翻訳を試みよう。

画像のような関数 P(I) の値が、I, P(I) の対で 20 組与えられている。
この値から、λ と ζ を求めるにはどうしたら良いか。


P(I) が正規分布の累積分布関数であることや、
λ と ζ がその平均と標準偏差であることは、
問題の内容にはあまり関係がない。

連立方程式として解くなら、具体的な手技はともかく、原理的には、
データは 2 組で足りるはず。20 組もあると、データが過剰なために、
全ての組が誤差な...続きを読む

Q分布関数F(x)の問題が解けないです。

分布関数F(x)の問題が解けないです。

お手数をかけますが、お知恵をいただきたく思います。
以下問題です。
F(x)={0 (x<0) , x^2/4 (0<=x<=2) , 1 (2<=x)}

(1)p(1<=X<=3)の値を求めなさい。
(2)確率密度関数を求めなさい。
(3)分布関数F(x)をY=2X+1としてYの分布関数G(x)を求めなさい。

(3)の解法が全く分かりません…orz

取りあえず、(1)(2)を求めてみます。
(1) F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
(2) F(x)微分して、p(x)={0 (x<0) , x/2 (0<=x<=2) , 0 (2<=x)}

これを使って(3)を解くのだと思いますが、テキストに類題が無いので解らないです。

Aベストアンサー

(1)
>F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
合っています。

(2)
> F(x)<をxで>微分して、p(x)=0 (x<0) , x/2 (0<=x<=2) , 0 (2<=x)
これで良いでしょう。

(3)Y=2X+1
F(x)=x^2/4 (0<=x<=2)
F((y-1)/2)= (y-1)^2/16 (1<=y<=5)
G(y)=0(y<1), (y-1)^2/16 (1≦y≦5), 1 (5<y)

Qデータが正規分布しているか判断するには???

初歩的なことですが。。急いでいます。
おわかりになる方 教えてください。
サンプリングしたデータが正規分布しているかどうかを確認するにはどうすればよろしいでしょうか。
素人でも分かるように説明したいのですが。。
定性的にはヒストグラムを作り視覚的に訴える方法があると思います。今回は定量的に判断する方法を知りたいです。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区間距離、度数区分数は、正規的なグラフになるように試行錯誤で行うことが多い(区間距離や度数区分数を本来の分布に則するようにいろいろ当てはめて解釈する。データ個数の不足や、データの取り方、または見かけ上の分布によりデータのばらつきが正しく反映されて見えないことがあるため)のですが、度数区分数は、機械的に、
=ROUNDUP(1+LOG10(データ個数)/LOG10(2),0):エクセル計算式
で区分数を求める方法があります。
 また、区間距離は、=ROUND((データの最高値-最低値)/(度数区分数値-1),有効桁数)で求め、区分の左端は、
=ROUNDUP(データの最低値-区間距離/2,有効桁数)
右端は=ROUNDUP(データの最高値+区間距離/2,有効桁数)
とします。
 区間がと度数区分数が出たら、その範囲にあるデータ数を数えて、ヒストグラムができます。
 
>最小側、最大側は 最小値、最大値を含んだ値としなければならないのでしょうか。
 ヒストグラム作成の処理に関しては、上記を参考にしてください。
 その前に、データの最小値と最大値が、正しくとれたデータか検討するため、棄却検定で外れ値が存在するか否かを検定し、外れ値が存在しないと結論づけられたら、正規分布の検定を行ってみてください。もし外れ値が存在する可能性があれば、そもそも、そのデータの信頼性が失われます。サンプリング手法の再検討(データの取り方に偏りがなかったか、無作為に設定してデータを取っていたか等)をして、再度データを得る必要があります。また、そもそも検定する以前に、データ数が少ないと判断が付かなくなってしまいますので、データ数は十分揃える(少なくとも20~30個)必要もあります。

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区...続きを読む

Q確率密度関数の求め方について

ある一つの変数に対するデータを数多く収集したとします.一人ひとりに一つづつ値がある身長などです.それを使って身長に関する確率密度を求めたいと思った場合,どのような操作手順になるでしょうか.例えば,最低身長を1mとして5cm刻みのレンジでその中に入る度数を調べて全数で除して,棒グラフみたいなものができたとします.そのグラフの縦軸は確率という次元(無次元)になります.横軸は身長ですね.そのようにしててきたグラフは実は確率密度ではないと思います.なぜなら,確率密度関数を横軸(身長)で積分したら確率になるのだから確率密度関数は身長の逆数の次元を持つ必要があります.そうしますと,例えば先に求めた5cmのレンジに対応して求まった確率をその刻み幅5cmで除す必要があるでしょうか.
このようなことが明記されているテキストがありましたら教えて頂きたいのですが.私の見る限りでは確率密度関数を実際のデータから求めるという演習が載っているものがなく,すべて確率密度関数が与えられているという前提での演習ばかりです.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf

>すなわち連続型の確率論が先に来るというのが正しいのでしょうか

先に来る,という意味が,はっきりしませんが,連続型で全て表せると考えてもいいでしょう。

確率論でデイラックδ関数を取り上げ,離散も連続も積分を使って一般的議論という解説もあります。古典力学と量子力学の橋渡し,ですね。

>レンジの確率密度関数でなく,その単位レンジの密度関数です。というのは確率密度関数の定義が既に先にある,ことを意味していると思います.

ここも微妙ですが,「 確率 」密度関数とまでは言っていません。その点,注意深く言ったつもりです。自分でも間違いやすいので・・・

棒グラフで止めれば,「離散密度関数」でしょうし,さらに,後半で話したように,曲線近似までもっていけば,「確率密度関数」です。

>確率・統計という学問は解析とか代数という数学分野とちょっと異なっているように思います。

全くそうですね。冒頭述べた,身近にある,ありすぎる点から,問題をややこしくしています。

>確率・統計については逆に実際に計算する手法が先にあってそれが定義であるかのように理解してしまう側面があるのではないでしょうか.

これも全く同意です。
例えば,
誰もが誤差分布の正規性を信じている。実験家は、数学的定理であると思っ ているからであり、数学家は、実験的事実と思っているからである。 (クラメール)
なんて言葉もあるくらいです。

また,統計の計算手法をめぐっては,ここの回答No1にも出てきたsanoriさんと真っ向から対立したくらいですから,
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6733154.html
計算,それが定義,という面はあると思います。


>数学的な厳密性に対して反乱することがほぼできません.
私も応用分野の人間ですから,そんなものですよ。

>私が挙げた箇条書きの計算手順で循環論になる部分があるとしたらどの部分でしょうか

2.各レンジの度数をレンジ幅で除したリスト(棒グラフ)を作成する.
3.そのリストを積分して値Sを求める.理屈から考えると総サンプル数になるが.

の部分です。各レンジは,総サンプル数が得られたからこそ決められます。例えば,あとからサンプルを加えて行けば,レンジが変わることもあるでしょう。

その決められたはずの総サンプル数に計算を施して,総サンプル数を求める,総サンプル数が求まったら,レンジを決める,決めたら総サンプル数を求める計算をする・・・

こういうことですか?
それなら,不要な計算です。

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf
...続きを読む


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