確率統計の問題です。

Question

すいません、学校の確率統計の授業がちんぷんかんぷんで
どうか下記の問題の解き方を教えてください。
どうかおたすけください！

ある県の平均体重を推定したく、実際に10名の体重を測ったら次のような結果がでた。体重の分布は正規分布で分散については50と分かっている。母平均の95%の信頼度で推定した区間を求めよ。
59.0、58.5、52.2、52.6、48.1、67.0、64.7、52.3、59.0、54.6

以上、よろしくお願いします。

yhr2 · Accepted Answer

No.1 です。
#2 さんと違って、私は「R」などの統計ツールを使いこなせないので、アナログに手計算しかできません。

＞（Xバー）※この記号でいいですか？＝（59.0＋58.5＋52.2＋52.6＋48.1＋67.0＋64.7＋52.3＋59.0＋54.6）/10＝55.8

10個のサンプルの平均は「Xバー」のように書くことが多いですね。
私が計算したら「56.8」になりましたよ？

これから推定すると、母平均は「56.8」の近辺にありそう、ということになります。
問題は、どの程度の「バラツキ」で「56.8」の近辺にあるかということです。ここでは「95%の信頼度」で「ありそうな範囲を示せ」ということですね。つまり「確率 0.95 で存在する範囲」ということ。

そのためには、「10個のサンプル」をたくさん採ってきたときの「10個のサンプルの平均値のバラツキ」（これは「正規分布」するとみなせる）が、「母集団の分散 50」からどのように推定できるかを調べる必要があります。

＞分散は　V（Xバー）の記号で正しいですか？そうするとσ²＝50でよいでしょうか？

10個のサンプルの分散なら V(X) ですが（Xバーではなく）、この場合には「母分散 = 50」と分かっているので、「10個のサンプル」をたくさん採ってきたときの「10個のサンプルの平均値」の分散が必要です。
それを V(Xバー）と呼んでいるのですね？

（注）もし母分散が未知であれば、サンプルから計算した「不偏分散」を母分散の推定値として使います。サンプル数 10 で割るのではなく、サンプル数 - 1 = 9 で割ったものですね。「分散」の計算に使う「平均値」が、「母平均」が未知なので「サンプル平均」を使わなければいけないため、そんな計算になります。
ただし、この問題の場合には、#2 さんがおっしゃるように「奇跡的に」母分散が「50」と既知なので、単純にそれを使います。

「母分散 = 50」の母集団から「10個のサンプル」をたくさん採ってきたときに、その「10個のサンプルの平均値」は、10個各々の「平均からの2乗偏差（その平均が「母分散」に等しい）」の平均なので、その分散は
　50/10 = 5
になります。

（注）何かの測定をするときに、「測定誤差」を小さくするために「10回測定して、その平均をとる」ようなことをしますね。測定回数を多くしてその平均をとると、誤差やバラツキを小さくできるのです。n 回測定して平均をとると、分散を 1/n に、標準偏差を 1/√n にできます。

＞なぜかσ＝√V（Xバー）＝√5　ということですか？

「標準偏差」は単純に「分散の平方根」なので（そういう定義）
　√5
になります。

従って、母平均は「サンプル平均：56.8」の近辺にあり、「標準偏差：√5」でばらつくと推定できます。
正規分布で平均を中心に 95% の確率となる範囲は
　　平均 ± 1.96σ
ですから、
　56.8 ± (√5) × 1.96
≒ 56.8 ± 4.38
となります。

つまり
　52.4 ～ 61.2

#2 さんの計算結果では
「> # 既知の標準偏差から正規分布仮定で求める」
のところを見ないといけませんね。

あなたがあてずっぽうで「見た」ところは
「> # 平均値の信頼区間を求める（ｔ分布）」
のところですね？
これは「母分散が未知」のときに、「サンプルの不偏分散」を母分散の推定値として使ったときの「信頼区間」だと思います。
そのときには「正規分布」ではなく「ｔ分布」を使います。

yhr2 · Answer

No.4 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞最後にこの表現は間違っていなでしょうか？
＞テキストを読破するにはどうしても記号もよく覚えないと前に進めないです。
＞52.4≦X≦61.1
＞それとも52.4≦ｘ≦61.1　でしょうか？

一般に、統計変数を大文字で、個別の具体的データを小文字で表現することが多いようです。

X = {x1, x2, ･･･, xn}

のように。

この場合には「母平均の範囲」を示すので、そのどちらでもなく
　52.4 ≦ μ ≦ 61.1
あるいは「X の母平均」という意味で
　52.4 ≦ μx ≦ 61.1
と書くと思います。

「母集団の平均」を μ、そこから抽出したサンプル X = {x1, x2, ･･･, xn} の平均を Xバー と書くことが多いです。
ここで答えるのは「母平均の範囲」ですから、式で書くなら「μ」を使うのがふつうだとと思います。

いずれにせよ、「記号の使い方」は単なる約束事であって、お使いのテキストや指導教官がどんな「約束事」のもとで使っているかだけの話なので、あまり気にすることはないと思います。

kamiyasiro · Answer

yhr様、私の計算結果についての補足、ありがとうございます。

私からNo.4にベストアンサーを付けさせて頂きます！

kamiyasiro · Answer

＞答えは、52.54378≦X≦61.05622　だと思いました。
＞どうでしょうか？

下のはｔ分布って書いてあるでしょ。

あと、補足に書かれた内容ですが、平均を計算し直してくださいね。

厳密値を使わず、1.96使っても、

52.41731～61.18269

↑ √5を丸めてないけど。電卓では丸めないでしょ。

kamiyasiro · Answer

#1さんに１票。でも、この手の問題は多いですよね。母平均が未知なのに、なんで母分散が分かるのか。母分散を計算するには母平均が必要でしょうに。でも、母分散未知だと、ｔ分布を使う必要があり難しいから、こんなちんぷんかんぷんな問題になるんです。でも、この先生はすごいですよ。ちゃんと、この無理な設定と、サンプルからｔ分布で求めたものとが、それなりの数値で一致するように、データで合わせ込みをしています。ツッコミを入れようとしたら、見事に裏切られました。脱帽！以下はRでの計算結果。答が出ていますが、それがどこかは言いません。答え合わせに使って下さいね。 > x <- c(59.0, 58.5, 52.2, 52.6, 48.1, 67.0, 64.7, 52.3, 59.0, 54.6) > > n <- length(x) > sd <- sqrt(50) # 母分散は既知 > > # 既知の標準偏差から正規分布仮定で求める > mean(x) + (qnorm(0.025) * sd / sqrt(n)) [1] 52.41739 > mean(x) + (qnorm(0.975) * sd / sqrt(n)) [1] 61.18261 > > # 平均値の信頼区間を求める（ｔ分布） > fit <- lm(x ~ 1) > confint(fit, level = 0.95) 2.5 % 97.5 % (Intercept) 52.54378 61.05622

yhr2 · Answer

10人のサンプルの「平均」は計算できますか？

母集団の平均は、そのサンプルの平均の近くにあると推定できますよね。

では、今回は１つの「10人分のサンプル」でしたが、無作為にたくさんの「10人のサンプル」を採ってきたとき、その平均はどんな分布をしそうでしょうか。
最初のサンプルの平均の周りに、母分散 50 に相当するバラツキで分布しそうですよね。
「10人のサンプルの平均」の分散なので、「平均より大きいもの、小さいもの」がならされて、50/10 = 5 になります。

つまり、「10人のサンプルの平均」は、
・最初の10人分のサンプル（問題に挙げられているもの）の平均
の周りに
・分散が 50/10 = 5 つまり標準偏差 √5 
で正規分布すると推定されるのです。

どうしてそう推定できるのか、本当にそうなのかは、テキストを読んで復習してください。

正規分布で「95％」がその範囲内に入るのは、正規分布の特性から
　平均 ± 1.96σ
になります。つまり
　平均 ± (√5) × 1.96

これが「母平均の95%の信頼度で推定した区間」ということになります。

10人分のサンプルの平均は、ちゃんと自分で計算してください。

確率統計の問題です。

No.1 です。

No.4 です。

yhr様、私の計算結果についての補足、ありがとうございます。

＞答えは、52.54378≦X≦61.05622 だと思いました。

#1さんに１票。

10人のサンプルの「平均」は計算できますか？

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＞答えは、52.54378≦X≦61.05622　だと思いました。