正規分布による分析

解決済

質問者：taktack
質問日時：2005/11/26 04:18
回答数：2件

すみません、質問が複数あるので長文になります。
また当方、統計学については素人のため初歩的すぎる質問であったら失礼します。
前提：卒研でアンケート調査を行い結果を統計で分析することになりました。アンケート内容は「ある事項につき賛成～反対までを無段階で聞く」とうもので、その結果を正規分布にかけて５段階にわけ、各段階の割合を求める。というものです。
１：アンケート調査を行い結果を分析するにあたりそのアンケート結果が正規分布なのか検定する手段として、尖度、歪度は学んだのですが、この二つの検定方法はそれ以外の検定方法（カイ二乗検定など）に比べ信頼性に足るのでしょうか？
２：アンケート結果が正規分布にのっとらない場合、片端に偏ったり、中心が最少で両端に偏ったりした場合に、正規分布による分析をした時は信頼に足る結果は出ないという事になるのでしょうか？
３：上記のようなアンケート調査の場合に、正規分布にのっとらない場合に用いられる分布などがあれば教えていただきたいです。
以上、長文失礼しました。m(_ _)m

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： backs
回答日時：2005/11/26 15:45

　1についてですが、尖度や歪度で正規分布に近似しているかどうかを検定する方法は分かりません。

少なくともカイ二乗検定は正規分布であるかどうかを確かめる検定ではありませんよ。

　2については、アンケートの結果が正規分布になっていなくても、カイ二乗分布やt分布、F分布などを使った検定方法があります。むしろ実際上、正規分布に従ったデータというのは少ないのではないでしょうか。もしくはデータを標準化したりするのでは？

　3は2と内容がかぶりますが、正規分布を用いない方法として、t分布を使ったt検定やF分布を使う分散分析などが代表的ではないでしょうか。

この回答への補足

早速の返答ありがとうございます！
＞尖度や歪度で正規分布に近似しているかどうかを検定する方法は分かりません
これは、尖度と歪度が大きすぎたり小さすぎるとマズイ、というような話をどこかで見た気がして・・・。それは正規かどうかの判断には用いれないのでしょうか？
＞カイ二乗検定は正規分布であるかどうかを確かめる検定ではありませんよ
そうだったんですか！勘違いしていました・・・。
＞カイ二乗分布やt分布、F分布などを使った検定方法があります。
少し調べてみたのですがt分布、F分布などは対象が二つの場合に用いるように書いてありました。今回は賛成度の割合のみを考えたいのでその場合でも対応できるのでしょうか？
＞データを標準化したりするのでは？
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＞正規分布を用いない方法
下の補足で書いた事とかぶってしまうのですが、山が二つ出来てしまうデータを入力した場合の対処方法などはあるのでしょうか？
＞t分布を使ったt検定やF分布を使う分散分析などが代表的
今回の分析は、賛成～反対を0～1の数値とし、その割合の分布（賛成が何％、反対が何％）のみを求め、賛成～反対の傾向をアンケート対象者の代表の人に返すという事を目的としています。t分布やF分布を用いてその目的をこなす方法がわかりません・・・。
下での補足と共々、初心者質問ばかりですみません・・・。

補足日時：2005/11/28 23:28

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No.1

回答者： at9_am
回答日時：2005/11/26 14:49

> アンケート内容は「ある事項につき賛成～反対までを無段階で聞く」とうもので、その結果を正規分布にかけて５段階にわけ、各段階の割合を求める。

というものです。

これがよく分からない。というのも、無段階にする必要がありますか？　最初から１～５の数値を聞けば充分ではないでしょうか？　この段階で個々のデータが正規分布に従っているという強い仮定をおくのは拙いと思います。
分布の形は様々で、正規分布で近似できるとは思いません。ただ中心極限定理から、平均値は近似的に正規分布に近似出来ます。
したがって、アンケートの各回答をそのまま用いた分布を正規分布で近似するには少々無理があるように思います。ですので 2.で心配されているように
> 正規分布による分析をした時は信頼に足る結果は出ない
という結果になるでしょう。

個々のサンプルの分布が正規分布に則らない場合であれば、二項分布やその拡張である多項分布に則った分析があります。ただし分析の目的によっては、他の方法の法が適している場合があります。

この回答への補足

早速の返答ありがとうございます！
＞無段階にする必要がありますか？
言葉がたりなかったです・・・。過去の研究によりアンケート対象となる人にある数値（単位は年数です）を聞くと、ある事項についての賛成度（賛成～反対を０～１であらわしています）を計算で求める事できるのです。で、アンケートでは年数を聞いて、それを賛成度に直し、その賛成度の割合を分布で求めたいのです。
＞二項分布やその拡張である多項分布に則った分析
少し二項分布のことを調べたのですが、「確立pの事象をN回したとき事象の回数」を求めるもので、かつ正規分布に近似されるものだと書かれていました（間違ってたらすみません）。それで他の分布も調べたのですが、対象の変数が１つ、さらに山が二つ出来て対応できる分布が見つけられませんでした・・・。そのような場合に処理する方法はあるのでしょうか？

補足日時：2005/11/28 22:26

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カテゴリが間違っているかもしれませんが，どなたかご存知でしたら教えてください。

Aベストアンサー

その数字は、統計学で出てくる「正規分布」に由来します。
標準正規分布（平均が０、標準偏差が１の正規分布）で考えますと、

　-1.5未満になる確率　6.7%
-1.5以上、-0.5未満になる確率 24.2%
　-0.5以上、0.5未満になる確率　38.3%
　0.5以上、1.5未満になる確率 24.2%
　1.5以上になる確率 6.7%

(四捨五入のため合計100%になりません）
となります。テストの成績が正規分布する場合は（実際は正規分布になりませんが）、

　偏差値 35未満　6.7%
　偏差値 35以上45未満 24.2%
　偏差値 45以上55未満 38.3%
　偏差値 55以上65未満 24.2%
　偏差値 65以上　6.7%

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Aベストアンサー

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　　　　　　　　A　　　 B　　　 C　　　 D
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　　　　　　　　A　　　 B　　　 C　　　 D
(1)観測値　　　72　　　23　　　16　　　49
(2)理論値　　　40　　　40　　　40　　　40
(3)ズレ　　　 +32　　 -17　　 -14　　 + 9
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以上，長々と書きました．今までの説明を読めばわかるように，χ2検定とはある理論値を想定した時，実際の観測値がその理論値とほぼ一致しているかどうかを調べるための統計解析法のことです．

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データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても（例えばクラス全員というような）、その背景にさらならる母集団（例えば学年全体）を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
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>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
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>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
　私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
　ヒストグラムを作成する場合、区間距離、度数区分数は、正規的なグラフになるように試行錯誤で行うことが多い(区間距離や度数区分数を本来の分布に則するようにいろいろ当てはめて解釈する。データ個数の不足や、データの取り方、または見かけ上の分布によりデータのばらつきが正しく反映されて見えないことがあるため)のですが、度数区分数は、機械的に、
=ROUNDUP(1+LOG10(データ個数)/LOG10(2),0)：エクセル計算式
で区分数を求める方法があります。
　また、区間距離は、=ROUND((データの最高値-最低値)/(度数区分数値-1),有効桁数)で求め、区分の左端は、
=ROUNDUP(データの最低値-区間距離/2,有効桁数)
右端は=ROUNDUP(データの最高値+区間距離/2,有効桁数)
とします。
　区間がと度数区分数が出たら、その範囲にあるデータ数を数えて、ヒストグラムができます。
　
>最小側、最大側は　最小値、最大値を含んだ値としなければならないのでしょうか。
　ヒストグラム作成の処理に関しては、上記を参考にしてください。
　その前に、データの最小値と最大値が、正しくとれたデータか検討するため、棄却検定で外れ値が存在するか否かを検定し、外れ値が存在しないと結論づけられたら、正規分布の検定を行ってみてください。もし外れ値が存在する可能性があれば、そもそも、そのデータの信頼性が失われます。サンプリング手法の再検討(データの取り方に偏りがなかったか、無作為に設定してデータを取っていたか等)をして、再度データを得る必要があります。また、そもそも検定する以前に、データ数が少ないと判断が付かなくなってしまいますので、データ数は十分揃える(少なくとも20～30個)必要もあります。

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Aベストアンサー

> 去年と今年のアンケート結果を集計・比較分析するのにどの検定方法を使用したらよいのかわかりません・・・。

本来、検定方法はアンケートを実施する前に決めておくべきものです。

(1) 「できていない・あまり出来ていない・まあまあできている・できている」をそれぞれ1～4に置き換えてMann-WhitneyのU検定を行うのが良いと思います。
検定方法は参考URLをご覧ください。

(2) 検定方法は(1)と同じでいいのですが、今年度の(1)の結果を使って2回検定することになるので、検定の多重性が問題となります。
場合によっては、多重比較をする必要があります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E6%84%8F#.E5.A4.9A.E9.87.8D.E6.AF.94.E8.BC.83

参考URL：http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Average/U-test.html

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たとえば、99人の専門家が信頼できると言い、1人がまだこの数では信頼できないと言った場合は信頼できるサンプル数と言えるのでしょうか？

わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
　調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
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　最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低６つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
　また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、Ａ国とＢ国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「ｔ検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

　具体的に例示してみましょう。
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　ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率５％、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

　一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
　例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
　一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
　そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

　あと、お礼の欄にあった専門家：統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
　ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20～30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低６～８のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

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Aベストアンサー

No1です。

>上でも紹介されていたU検定ならば正規性を必要としませんが、こちらであれ４段評価に使用しても問題ないのでしょうか。カイ2乗検定とどちらを採用すべきでしょうか。
カイ2乗検定なら出来る、と言っていないし、この場合は出来ません。私は、初心者なのですが、カイ2乗検定ならなんとか利用できます。そこで、私なら自分の力でも可能なカイ2乗検定で解析できるようなアンケートをとって始める、と言っているだけです。
　「データを集めて、それから何か検定法は」というのは初歩的な落とし穴です。まず、統計処理の方法を考えてから、その方法で処理できるようにデータを集める、というのが基本です。

　私なら、100点満点で点数化してもらいます。これだと、t-検定か、F-検定でなんとかなりそうですが。

　U検定は、『名前を聞いたことがある』程度なので・・・。

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