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母集団の大きさをk、サンプル数をn、サンプル中に含まれる不良の数がxとすれば、母集団に含まれる不良数がkpである確率はいくらか。
これは正確にはベイズ統計の問題です。というのも、母集団中に含まれる不良の数の分布に関する先験確率がない限り、確率が定義できないからです。ベイズ統計では、このような問題において、しばしば事前分布としてベータ分布(α、βが整数の場合なら2項分布)
Beta(p|α,β) = {p^(α-1) } { (1-p)^(β-1) } Γ(α+β)/Γ(α)/Γ(β)
(ただしkp = 母集団中に含まれる不良の数。Γはガンマ関数。αが整数の時には、Γ(α) = (α-1)!)
を仮定します。ここでα、βは適当に選択して、Beta(p|α,β) がpの事前予想分布を表すようにします。これは勘に頼るのか、どうするのか、という問題はベイズ統計では面倒を見てくれません。
この仮定の下で、実際にn回の試行でx回の不良を見いだしたとすると、事後確率分布
Beta(p|x+α,n-x+β) = {p^(x+α-1) } { (1-p)^(n-x+β-1) } Γ(n+α+β)/Γ(x+α)/Γ(n-x+β)
が得られる。Beta(p|x+α,n-x+β)はpのそれぞれの値における確信度を示します。
ベータ分布の場合、pの(平均値による)推定値は(x+α)/(n+α+β)です。信頼性a%の最高密度信頼性区間というものが計算でき、この区間にpが入る確率はa%と評価されます。
ベイズ統計に関する参考書は手許にありませんが、大きな図書館で探してください。多分HPもありそう。
●他のアプローチもあるのかもしれません。
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