モーメント法による母集団の偏差σの推定

X1,X2,...,Xnが独立に正規分布N(0,σ^2)に従うときの母集団の偏差σを推定したいのですが、モーメント法で推定するにはどうすれば良いのでしょうか？

分散σ^2ならS=(1/n-1)Σ(Xi-Xbar)^2の期待値がσ^2になるので簡単なんですが、偏差σはどう推定すれば良いのでしょうか？

お分かりの方、お教え願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： solla 回答日時： 2008/07/02 16:16

先ず、質問者さんは一部誤解されているようですので、正しておきます。

> 正規分布N(0,σ^2)に従うときの母集団の偏差σ

σは「偏差」ではなく「標準偏差」です。


> 分散σ^2ならS=(1/n-1)Σ(Xi-Xbar)^2の期待値がσ^2になるので簡単

期待値が母数に一致する推定量は不偏推定量であって、モーメント法の推定量ではありません。


モーメント法による推定とは母集団分布のモーメントの推定量として標本のモーメントを用いることです。これは標本のモーメントが母集団分布のモーメントに確率収束するという事実が根拠になっています。通常、母集団分布のモーメントは母数の関数として表されますから、未知母数の数だけ標本モーメントについて連立させて、それを解いて未知母数の推定量とするものです。

正規分布の場合、母数μが原点のまわりの1次のモーメント, σ^2が期待値のまわりの2次のモーメントに一致しますので簡単で、

m = (1/n)ΣXi
s^2 = (1/n)Σ（Xi-m)^2

がそのままμとσ^2の推定量になります。従って2番目の式をσ^2の推定量として、σについて解けば、s=√(s^2)がモーメント法による標準偏差の推定量になります。

この回答へのお礼

モーメント法の考え方について誤解しておりました。
非常に丁寧な解説をしていただきまして、どうも有難う御座いました！

お礼日時：2008/07/05 04:38