信頼区間から標準偏差の求め方

統計初心者です。
統計の問題で行き詰まっています。
参考書やネットで調べたのですが、問題の出し方が少し特殊だったので調べきれませんでした。

Q
100人の生徒に100点満点の試験を行い平均値と標準偏差を計算し、平均値の95％信頼区間を求めたところ、（57.1-62.9）となった。標準偏差に最も近い値を選べ。

A
1 5.0
2 7.5
3 10.0
4 12.5
5 15.0

答えを見る前は、57.1～62.9＝5.8　
5.8/2=3.9
3.9/2=2.95
で標準偏差は2.95かなとも思ったのですが、回答欄とかすりもしませんでした。
（±2.95×２＝95％信頼区間と考えました）

ハンバーガー統計学でも調べたのですが、自由度や平均が分からないと信頼区間は出せない気がします。
（なお、この問題には自由度のｔ分布表はありませんでした）
数学初心者ですので（Σがギリギリくらい）、できるだけ数式を少なく教えて頂けるとありがたいです。

信頼区間から標準偏差を求める方法（考え方）をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/13 23:07

これは、条件などが何も書かれていませんが、「100人のサンプルデータから、母集団（たとえば日本の受験生全体）の平均値の範囲」を推定する、いわゆる「区間推定」という話と解釈します。

100人分のデータだけに関する話なら、平均値は確定するので、「信頼区間」などという話は出て来ないはずです。
おそらく、問題文の中に「母集団の平均値を信頼度95%で推定したら、57.1 ～ 62.9 であった」とあるべきでしょう。

100人のデータで、平均点 xbar 、標準偏差 σs を求めたとして、信頼度95％での母集団の平均値の信頼区間は、「不偏分散」ということで自由度：サンプル数 - 1 =100 - 1 = 99 を用いて、
　　xbar - 1.96*σs/√(100 - 1) ～ xbar + 1.96*σs/√(100 - 1)
です。

これが 57.1 ～ 62.9 ということは
　　xbar - 1.96σ/√99 = 57.1
　　xbar + 1.96σ/√99 = 62.9
ということです。

これを解いて、
　　xbar = 60
　　σ ≒ 14.7
従って、選択肢の中では「５」なのでしょうね。

先の別な質問もそうでしたが、「問題文が舌足らずで不適切」かと思います。

↓　参考サイト
http://www.tamagaki.com/math/Statistics502.html
http://yuku-tech.hatenablog.com/entry/20100704/1 …

この回答へのお礼

前回に引き続き、ご回答ありがとうございます。
問題の解釈も難しいので、正解までの道筋を探すのに苦労をしていました（汗。

参考サイトまで載せて頂き、ありがとうございました。

お礼日時：2016/06/14 23:06