![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
No.9
- 回答日時:
では1の補足の例を参考に考えてみましょうか。
(3*4*5)は連続する3コの自然数の積であり、3については3*1、2については4=2*2、と3および2を約数に含む数をもちますが、この連続する部分列3,4、もしくは4,5には2を約数として持つ数が必ず含まれます。
※ちなみにこれが4で割れないのは、「連続するnコの整数の中には(n+1)の倍数を含まない組み合わせが存在する場合もある」というだけの話で、n!で割れるかどうかとは何の関係もありません。
また、151*152*153*154*155*156*157*158*159の組み合わせを考えると、たとえば、8コの連続する部分列151~158もしくは152~159は8の倍数を必ず含んでいますし、6コの連続する部分列151~156、152~157、153~158、154~159は必ず6の倍数を含みます。しかし10の倍数についてはそうではない。
こうなるのはkの倍数の間隔を考えれば明らかです。
そもそもkの倍数は、kの倍数でない数を(k-1)コはさんで並んでいますから、ここから連続するkコの整数をとった場合、k(そのもの)を約数に含む数は「少なくとも必ず1コは」存在します。なぜなら連続してkの倍数を含まない数は(k-1)コしかないので、それをどう組み合わせたってkコの並びは作れないから。
よってnコの連続自然数に対して適当に連続する部分列をとれば、それは必ず部分列の個数に対応する約数を「少なくとも必ず1コ」含むし、k≦nであれば必ず連続するkコの部分列を取れるのも自明ですから、Aは任意のk(k≦n)を約数として「少なくとも必ず1コは」含むことが分かるわけです。
No.8
- 回答日時:
no.4さんの帰納法の証明をちゃんと考えてみてください。
その中にn個の何故連続する整数の積がn!で割り切れるかが見えてきます。No.4さんの証明は以下のようになりました。
mCn(1≦n≦m)が全て整数となることを証明する。
・m=1のとき
1C1=1により成り立つ。
・m=kでの成立を仮定するとkC1,…,kC(n-1),kCn,…kC(K-1),kCkは全て整数である。m=k+1では
(k+1)Cn=kC(n-1)+kCn
右辺はm=kでの仮定により整数ゆえm=k+1でも成り立つ。
少しずつ何故割り切れるのか、直感的に感じられるようになってきました。
ありがとうございます。
No.7
- 回答日時:
以下のような手法ではいかがですか。
(ただし、答案として不備があることを初めに書いておきます。)
n!を素因数分解し、各素数について注目します。
例)4!=2^3×3
このとき、「4!で割り切れること」と、
「8(=2^3)で割り切れ、3で割り切れること」は同値であることを確認しておきます。
まず、素数2について考えますと、
1~nの中に
2の倍数は[n/2]個 (注.[]はガウス記号)
2^2の倍数は[n/4]個
・・・
2^kの倍数は1個 (注.kは、2^k≦n<2^(k+1)を満たす自然数)
とかけます。
よって、n!を素因数分解すると、2の次数は[n/2]+[n/4]+・・・+1となります。
一方、n個の連続する自然数の中には、
2の倍数は、少なくとも[n/2]個あります。
記号を見やすくするために、j=[n/2]と書きます。
次に、4の倍数の個数ですが、
n個の連続する自然数の中には、少なくともj個の偶数があります。
そのj個の偶数(j個を超えるときは、小さい順に取り出したj個だけを考えることにします)
は、j個の連続する自然数に2をかけたものです。
そして、j個の連続する自然数の中には、[j/2]個の偶数があります。
ということは、n個の連続する自然数の中にある4の倍数は、[j/2]個あります。
つまり、[j/2]=[[n/2]/2]=[n/4]となります。
これを繰り返せば、
n個の連続する自然数の中には、
2の倍数は少なくとも[n/2]個
2^2の倍数は少なくとも[n/4]個
・・・
2^kの倍数は少なくとも1個
あることが分かります。
これにより、
(n個の連続する自然数の積を素因数分解したときの2の次数)≧(n!を素因数分解したときの2の次数)
これを、n以下の素数で確認をすればいえそうな気がします。
ただ、これを書き終えてみると、すっきりとはいえませんね。
蛇足ながら、私自身としては、もう少し大雑把に上記のことを考えていたので、もっと簡潔に書けるものと思っていました。
除数を素数に分けてそれぞれの素数について考えていくわけですね。
反論の余地はありません、ブラボーだと思います。
ありがとうございます。
No.6
- 回答日時:
ANo.3ですが、
>n以下の全ての自然数でそれぞれ割り切れてもn!で割り切れるとは限らないのではないですか?
にはビックリしました(笑)。(ネタじゃないですよね?)
ならばしつこいくらいに説明しましょうか。
◆の考察から、連続するnコの整数の中には「nそのもの」を約数に含む数が必ず存在することが解ります。また、部分列として「kそのもの(k<n)」を約数に含む数も必ず存在するわけです。(←大事なのはこの部分)
ですから、その積のAはk(k<n)をすべて(余すところなく)約数として含みます。
これを式で表現すればA=n(n-1)(n-2)…2*1*Bとなるのは明らかでしょう。
この回答への補足
ネタじゃないです。いたって真面目です。
申し訳ないのですが
"部分列として「kそのもの(k<n)」を約数に含む数も必ず存在する"
の部分が良く分かりません。具体例で示していただけるといいのですが。
No.5
- 回答日時:
>(3*4*5)/(4*3*2)
>を考えると割るほうのそれぞれに合同な数があるのに割り切れないのではないですか?
ANo.1 さんのコメントには「行間」があります。(一行に収まってはいますが ...)
n個連続しているので、その中に必ず、nと合同な数がある。
(ここで、nとnの合同数を脇によけておく。残った数について....)
同様に1からn-1までの数と合同な数がある。
nとnの合同数を脇によけても大丈夫なのは何故か、考えてみてください。
この回答への補足
「nとnの合同数を脇によけておく」
というのは
たとえば
6*5*4/3*2*1ならば3と6をよけて、2と4をよけてると5/1で割り切れるということですか?しかし
7*6*5/3/2/1ならば3と6をよけると7*5/2*1となり合同な数はなくなってしまうのですが…
No.2
- 回答日時:
連続するn個の自然数をa_1,a_2、・・・a_nとあらわしますね。
連続するためには、n>1でなければなりませんね。n=2の場合から考えてみましょう。n=2のとき、
(a_1)*(a_2)/2は、割り切れるとおもいませんか。というのは、(a_1)と(a_2)は連続しているので、どちらか一方は、偶数のはずだからです。
n=3のとき、
(a_1)*(a_2)*(a_3)/(3*2)
これも割り切れますね。なぜなら、連続している(a_1),(a_2),(a_3)のうち、いずれか1つは3の倍数であり、また、偶数も含んでいるはずだからです。
n=4からさきも、同じことがいえそうですね。あとはこれを、数学的にどう表現したらいいかということになりますかね。
この回答への補足
「n=4からさきも、同じことがいえる」というところが分かりません。
分母のa*b*c*…の部分が互いに素ならば対応する数が違うので割り切れますがそうでないので成立しないのではないですか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 負の数での組み合わせについて 1 2022/05/25 01:22
- 数学 無理数の数字の組み合わせ。無限の意味について 5 2022/05/28 22:53
- 数学 連続した5つの自然数の積が30240になるとき、この5つの自然数の和として正しいのは?という問題の解 7 2022/05/09 20:04
- 数学 分かる方教えてください。 4 2022/05/21 19:37
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
- 簿記検定・漢字検定・秘書検定 棚卸減耗損について 2 2022/05/19 04:48
- Excel(エクセル) 図書カードの分配 7 2023/05/09 15:57
- 数学 確率をおしえてださい。 6 2023/03/06 06:07
- Excel(エクセル) 荷捌作業効率をあげるためのエクセル関数を教えてください。 8 2022/10/07 08:17
- 物理学 ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動 2 2023/06/04 13:53
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
x^2sin(1/x) と 0(x=0) での連続性
-
ジャンケン連勝世界記録
-
無理数は連続ですか?
-
連続4整数
-
ε-δ論法による関数の連続性につ...
-
平方の差(基本)
-
連続する3つの整数の積が6の倍...
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
区分的に連続な関数について
-
「Newton」7月号特集記事
-
中3 式の計算
-
数学の問題です。 ある連続する...
-
連続する2整数が互いに素(最大...
-
自動紙送り装置
-
複素関数の連続性
-
単純支持梁と連続支持梁の違い
おすすめ情報