連続した5つの自然数の積が30240になるとき、この5つの自然数の和として正しいのは？という問題の解

連続した5つの自然数の積が30240になるとき、この5つの自然数の和として正しいのは？という問題の解説で、3行目の「連続する5つの自然数の積に分解する場合、素因数の7はそのまま7とするしかない」とはどういう意味でしょうか？

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/11 09:59

素因数 7 が含まれるには 5個の連続した自然数が

7 を含むか 14を含むかでしょう。
しかし14を含むと自然数が全部10以上なので
積が10万を超えるのは明らか。

従って5個の自然数は 7 を含むとするしかないです。

で、こんなこと考えなくても、ちょろっと計算すれば
済むので、素因数分解とか７を含むとかは不要だと思います。

4・5・6・7・8 は 32×35×8 なので 7千くらいだろうなという
あたりはつくので
多分その次の次あたりだろうと見当は付きます。

4・5・6・7・8 = 6720
5・6・7・8・9 = 6720/4×9 =1680×9 = 15120
6・7・8・9・10 = 15120/5×10 =3024×10 = 30240

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/10 20:10

7 に関する考察もいいんだけれど、

そもそも 30240 を素因数分解するのがしんどい。

y = f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のグラフを考えてみる。
x = 0, -1, -2, -3, -4 で f(x) = 0 となる多項式関数だから、
y = f(x) のグラフの概形はすぐに描くことができ、
x > 0 で単調(増加)だと判る。 二分法が使えそうだ。

f(0) = 0 < 30240,
f(10) = 10・11・12・13・14 > 10^5 > 30240
は容易に気づくだろうから、これを初期値として
二分探索をしてみると、
f(5) = 5・6・4・8・9 = 15120 < 30240,
f(7) = 7・8・9・10・11 = 55,440 > 30240,
f(6) = 6・7・8・9・10 = 30240
となって、答え 6・7・8・9・10 が見つかる。

この解法は、掛け算だけで解くことができ、
素因数分解する必要がない。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/10 09:05

連続する５つの自然数の積を

(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=30240とすると
(x^2-4)(x^2-1)x=30240
仮に計算し易いようにｘ＝１０から始めると
(x^2-4)(x^2-1)x=95040とオーバー
ｘ＝９では
(x^2-4)(x^2-1)x=55440とオーバー
ｘ＝８では
(x^2-4)(x^2-1)x=30240と　 ok
連続する５つの自然数は、６，７，８，９，１０
じゃあダメなの？

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/09 21:20

画像にある通り 30240=2⁵x3³x5x7 ですね。

5つの数字の積で 7 が 1つだけと云う事は、
5つの数字の中に 1つだけ 7 の倍数がある と云う事です。
14 を含む 連続した5つの数字では 30240 を超えてしまいますから、
7 を含む 5つの数字 と云う事になりますね。
以上の事を 画像では「そのまま7とするしかない」と云っているのでは。
尚、連続する5つの自然数の和は、真ん中の数字の5倍になります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/09 21:03

2≦x

と仮定すると
10<14≦7x
10≦7x-4
10<11≦7x-3
10<12≦7x-2
10<13≦7x-1
だから
30240<100000<(7x-4)(7x-3)(7x-2)(7x-1)7x≦30240
と矛盾するから
x=1
だから
素因数の7はそのまま7とするしかない

No.2 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2022/05/09 20:44

7の2倍の14で割ると2160

連続するなら最低10

10×11×12×13×14=240240とオーバー

問題の答あるなら7は確定。

答は6×7×8×9×10で、あと足し算は省略。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/09 20:23

例えば２と掛け算すると14ですが

14を作ってしまうと
13は作れないので
131415などという並びはできません
ゆえに、連続の並びにするためには
1415161718
というように14を左端にするしかないのです
でも、17も作れません
ゆえに、14を作ってしまうと連続という条件が守れないのです

このような矛盾を回避するためには
7にはなにも掛け算しないで
7のままにしておこうという事になります