ε-δの練習をしているのですが、たとえば
https://www.nick97.com/entry/epsilon-delta-matome
にある問題は、すべて高校数学流の求め方で極限値を求めることができます。そうでない例を知りたいのです。
数列の極限でいえば
lim[n→∞]x[n] = a ⇒ lim[n→∞] (x[1] + x[2] + …… + x[n])/n = a
のような問題です。
No.2
- 回答日時:
1.
(a₁+a₂+…+an)/n → a
と同じだが
an>0, an → a ならば、ⁿ√(a₁a₂…an) → a
2.
an=(1+1/n²)(1+2/n²)…(1+n/n²) → √e
3.
b[n]>0、Σb[i]→∞ かつ a[n]/b[n]→a のとき、
(a₁+a₂+・・・+a[n])/(b₁+b₂+・・・+b[n]) → a
No.1
- 回答日時:
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|x[n]-a|<ε/2
だから
任意のε>0に対して
n_1>n_0+2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
となる自然数n_1がある
n>n_1となる任意の自然数nに対して
n>n_1>2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
n>2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
ε/2>(1/n)Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|
n>n_1>n_0
(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}|x[k]-a|<{(n-n_0)/n}ε/2
だから
|(1/n)Σ_{k=1~n}x[k]-a|
=|(1/n)Σ_{k=1~n}(x[k]-a)|
=|(1/n)Σ_{k=1~n_0}(x[k]-a)+(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}(x[k]-a)|
≦(1/n)Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|+(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}|x[k]-a|
<ε/2+{(n-n_0)/n}ε/2
<ε/2+ε/2
=ε
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