a∈ℤ,b∈ℤ,n∈ℕが全て奇数のとき、不等式 |a²-b²-2abn|≧2n が成り立つことの証明

a∈ℤ,b∈ℤ,n∈ℕが全て奇数のとき、不等式
|a²-b²-2abn|≧2n
が成り立つことの証明を教えてください。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 19:42

#5間違えました#5の回答を取り消します

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 19:22

|a^2-b^2-2abn|<2n

と仮定すると
||a^2-b^2|-2|ab|n|≦|a^2-b^2-2abn|<2n
||a^2-b^2|-2|ab|n|<2n
-2n<|a^2-b^2|-2|ab|n<2n
2n(|ab|-1)<|a^2-b^2|<2n(|ab|+1)

|a^2-b^2|/{2(|ab|+1)}<n<|a^2-b^2|/{2(|ab|-1)}…(1)

|a|=|b|と仮定するとn<0となって1≦nに矛盾するから
|a|≠|b|だから
|a|-|b|≧2.or.|b|-|a|≧2
|a|≧|b|+2≧3.or.|b|≧|a|+2≧3

|a|+|b|は偶数だから
|a|+|b|=2xとなる整数xがある
||a|-|b||は偶数だから
||a|-|b||=2yとなる整数yがある
|ab|=x^2-y^2
1≦y≦x-1
x+y,x-yは奇数
|a^2-b^2|=(|a|+|b|)||a|-|b||=4xy

|a^2-b^2|/{2(|ab|+1)}=2xy/(x^2-y^2+1)
|a^2-b^2|/{2(|ab|-1)}=2xy/(x^2-y^2-1)

↓これと(1)から

2xy/(x^2-y^2+1)<n<2xy/(x^2-y^2-1)

x=2と仮定すると
1≦y≦x-1=1
y=1
2xy/(x^2-y^2+1)=1<n<2=2xy/(x^2-y^2-1)
となってnが自然数であることに矛盾するから
x≧3
x=3と仮定すると
1≦y≦x-1=2
y=x+y-xは偶数だから
y=2
2xy/(x^2-y^2+1)=2<n<3=2xy/(x^2-y^2-1)
となってnが自然数であることに矛盾するから
x≧4

t=y/xとすると
y=xt

2t/{(1-t^2)+1/x^2}<n<2t/{(1-t)^2-1/x^2}

f(t)=2t/{(1-t)^2-1/x^2}
とすると

f'(t)={-2t^2-2/x^2}/{(1-t)^2-1/x^2}^2<0

f(1/x)
=(2/x)/{(1-1/x)^2-1/x^2}
=(2/x)/(1-2/x)
=2/(x-2)
≦1

f'(t)<0だからtが増加時f(t)は減少だから

1≦y
1/x≦y/x

1≧f(1/x)≧f(y/x)=2xy/(x^2-y^2-1)>n
となってnが自然数であることに矛盾するから
∴
|a^2-b^2-2abn|≧2n

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 05:16

|a^2-b^2-2abn|<2n

と仮定すると

4{(a^2)(b^2)-1}n^2 - 4ab(a^2-b^2)n + (a^2-b^2)^2 < 0

|a^2-b^2|/{2(|ab|+1)}<n<|a^2-b^2|/{2(|ab|-1)}

a=2
b=1
とすると

|2^2-1^2|/{2(|2|+1)}=1/2<n<3/2=|2^2-1^2|/{2(|2|-1)}
だから
n=1

|a^2-b^2-2abn|=|2^2-1-2*2|=1<2=2n
だから
aが偶数のとき
|a^2-b^2-2abn|≧2nは成り立たないので

a,b,nは奇数という条件は必要です

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/06 06:02

f(n)=4(a^2b^2-1)n^2-4ab(a^2-b^2)n+(a^2-b^2)^2

とする

4{(a^2)(b^2)-1} > 0 のとき

nの2次方程式
f(n)=0
の
判別式
D/4=4(a^2-b^2)^2≧0

a≠bのとき

D/4=4(a^2-b^2)^2>0
だから

f(n)=0は異なる2つの解α,βをもつから

f(n)=(x-α)(x-β)

α<n<βとなるnが存在すれば

f(n)=(x-α)(x-β)<0

となるから

f(n)≧0とはいえません

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/02 19:37

パッと見、面倒くさそうに見えるけれど、

やってみるとそうでもなかった。

n > 0 より、
与式 | a² - b² - 2abn | ≧ 2n
⇔　(a² - b² - 2abn)² ≧ (2n)²
⇔　0 ≦ (a² - b² - 2abn)² - (2n)²
　　　= 4{(a^2)(b^2)-1}n^2 - 4ab(a^2-b^2)n + (a^2-b^2)^2.
下の式を示せばよい。

a,b は奇数より、|a|, |b| ≧ 1. よって 4{(a^2)(b^2)-1} ≧ 0 だが...

4{(a^2)(b^2)-1} = 0 のとき：
すなわち a^2 = b^2 = 1 のとき、
右辺は恒等的に =0. よって式は成り立つ。

4{(a^2)(b^2)-1} > 0 のとき：
n の二次項の係数が >0 で、かつ判別式が
D/4 = { 2ab(a^2-b^2) }^2 - 4{(a^2)(b^2)-1}・(a^2-b^2)^2
　　= 4(a-2)(b^2)(a^2-b^2)^2 - { 4(a^2)(b^2)(a^2-b^2)^2 - 4(a^2-b^2)^2 }
　　= 4(a^2-b^2)^2
　　≧ 0 だから、
右辺は ≧0 である。

問題の条件は a,b,n は奇数かつ n > 0 と与えられているが、
a,b は 0 でない整数、n は正の実数まで条件を緩めても
件の不等式は成り立つ。

この回答へのお礼

上の回答者からのツッコミをよく読んだ方がいいでしょうね。

お礼日時：2023/05/09 21:02