行列の性質に、二つの行列A,Bが正則なら (AB)^-1=B^-1A^-1 が成り立ちますが、逆にA

行列の性質に、二つの行列A,Bが正則なら
(AB)^-1=B^-1A^-1
が成り立ちますが、逆にABが正則の時には、AとBがいずれも正則と言えますか？
というのも、射影行列がA(A^T A)^-1A^Tと表されるようなのですが、上記のことが言えるなら射影行列は単位行列だけになると思ったからです。

証明が難しければ反例をいただければと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/03 01:44

ああ、後半があるのか。

No.2 に書いたのは、A, B が正方行列である場合の話です。

A が正方行列でない場合にも、A^T A は正方行列になりますが、
(A^T A)^-1 が存在しても、A はそもそも正方行列でないので
A^-1 や (A^T)^-1 を考えることに意味がありません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/03 00:37

AB が正則であるとは、C(AB) = (AB)C = E となる行列 C が存在することです。

この C を行列 AB の逆行列と呼びます。(E は単位行列)
行列 M に対して CM = E であれば MC = E でもあること、また
MC = E であれば CM = E であることも知られています。

C が AB の逆行列であれば、行列積の結合法則から
(CA)B = A(BC) = E なので、BC が A の逆行列、CA が B の逆行列です。
逆行列が存在したので、A, B は正則ということになります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/02 19:17

ABが正則ならば

ABの行列式は0でない
|AB|≠0
だから
|AB|=|A||B|≠0
だから
AとBのどちらかが正則でないとすると
|A|=0.又は.|B|=0
となるから
|A||B|=0
となって|A||B|≠0に矛盾するから
AとBはいずれも正則でなければならない