逆関数の意義

Question

関数y=sinx(-π/2≦x≦π/2)の逆関数をg(x)とする。

I=∫[0→1]g(x)dx　を求めよ。

という問題なんですが、もちろんこの場合逆関数は簡単には求まりませんよね？といいますか、傍用問題集に載ってるような計算で求められる逆関数はむしろ特別な場合をやっているに過ぎないと教わりました。
さて本問についてですが、さっぱり分からなかったので解説を受けたのですが、その説明はこういうものでした。

「与えられた関数にx1という値を入れるとy座標はy1(=sinx1)になるとする。このとき逆にy1を入れてx1に至る関数を本問での逆関数と呼ぶ。これをx=g(y)とする。このときグラフ自体はまったく同じものであるが、関数はxを入れてyに至るというのが一応の決まりとなっているのでxとyを入れ替えてy=g(x)とする。したがってもともとyを入れてxに至るのが逆関数であったのでIは次のように書き換えられる」

I=∫[0→1]g(y)dy

という説明でした。はっきり申しますとさっぱりこの説明の意味が分かりません。こんな曖昧な状態では全く応用が利かないです。もちろん上のように書き換えられたならば積分は計算できるのですが、そこまでのプロセスの理解はやはり皆無です。そもそも教科書にしてもチャートなどの問題集にしても、逆関数を求めるだけという単純な計算問題しか書かれていないのでその本質がまったく見えません。逆関数が試験にでるというのはまだ一度も見たことは無いのですが、一応受験範囲が(3)Ｃだけですのでここもしっかり理解しておきたいです。上の解説文などは完全に無視していただいて構いませんのでアドバイスよろしくお願いします！

KENZOU · Accepted Answer

＞正しくはまずx=2yからy=1/2xとしてこれがy=g(x)。つまりx=g(y)はx=2yではなくx=1/2yですよね！？
はい、その通りです。まぁ、厳密にはy=(1/2)xと括弧を入れて書いたほうが間違いがないです、、、

＞ところでこのx=g(y)っていうのは実際もとのy=2xを逆にx=の形で書き換えただけのもの。つまりx=g(y)というのは元の関数にとっての逆関数でも何でも無いですよね？
そう、まさにそこなんです、逆関数の理解をややこしくさせるポイントは。最初はこの辺で泣きをみることになります、、、(笑い）
さて、突然ですが関数y=f(x)で、独立変数ｘは通常等号の右側、従属変数は統合の左側に書く慣例になっています。y=2xの逆関数x=(1/2)yをその慣例に従って見ると、等号の左のｙは独立変数、右のｘは従属変数ということになり、普段の解釈から誤解を生じやすいことになります。そこで普段の解釈通りできるようにｘ→ｙ、ｙ→ｘと書き換えてy=(1/2)xと書くわけですね。

ところで、逆関数はもとの関数の逆だから、なにか対象性があるのでは、、、という観点から逆関数を考えましょう。y=2xとy=(1/2)xをグラフ用紙に書いてみてください。そしてy=xも書いてみてください。この3本の直線をじっくり眺めると、ナ、ナント、y=2xとy=(1/2)xはy=xを対称軸とする線対称の関係（y=xにそって用紙を折り曲げると2直線は完全に重なる）にあるということが分かりますね。元の関数と逆関数はy=xを対称軸とする線対称の関係にあるということですね。この関係を利用するとy=sin(x)の逆関数のグラフは容易に書けますね(←少し面倒ですが）。TRYしてみてください。

KENZOU · Answer

＞ｙ＝２ｘ＋３(y=f(x))→ｘ＝（ｙ－３）/２(x=g(y))
という変形において、もちろんここではまだグラフの概形は変わっていませんよね？

え～っと、グラフの概形の意味がよくわかりません。縦軸にｘ軸、横軸にｙ軸をとってｘ＝（ｙ－３）/２の直線を描いてみてください。ｙ＝２ｘ＋３と異なりますね。。。

＞ところがこのままだとyを入れてxに至るような形になっていて慣例に合わないため、次に
ｙ＝（ｘ－３）/２(y=g(x))
としてこれが逆関数ですよね？

ご指摘の通りです。先ほどのｘ軸、ｙ軸を改めてそれぞれをｙ軸、ｘ軸と書き直しただけです。

>そこで本問について積分変数は入れ替え自由

確かにそうなのですが、これは積分変数を”ただの記号”とみなせばという意味が隠れており、積分範囲については注意が必要です。

>g(x)dx→g(y)dyとしても値は変わらず、このときx=g(y)でありますから結局最初のグラフの概形と変わらず、ただ積分がy軸方向に変わった。

う～ん、ちょっと意味が不明ですね。話が少しややこしいので具体的に迫ってみましょう。
まず問題の積分I=∫[0→1]g(x)dxの意味を考えましょう。y=sin(x)の逆関数はx=sin^-1(y)=arcsin(y)　　(1)
ｘの定義域は-π/2≦x≦π/2ですから、(1)のｙの取りうる範囲は-1≦ｙ≦1です。ここで、慣例の表記に合わせるべくｘとｙの入れ替えをすると、(1)はy=arcsin(x)となり、ｘの定義域は-1≦x≦1となり、対応するｙの範囲は-π/2≦ｙ≦π/2となりますね。問題の積分I=∫[0→1]g(x)dxの積分変数ｘはｘとｙを入れ替えた後のx軸上の変数ということに注意してください(←ややこしい説明）。　
ｘとｙを入れ替えた座標でグラフを書くとy=g(x)=arcsin(x)はx=0でy=0、x=1でy=π/2となります(-1≦x≦1でy軸にそってウネウネとした正弦曲線）。I=∫[0→1]g(x)dxはこの曲線g(x)と0≦x≦1の範囲で囲まれた領域の面積です。I'=∫[0→π/2]g(x)dyは曲線g(x)と0≦ｙ≦π/2の範囲で囲まれた領域の面積ということになります。

>y=f(x)の逆関数をg(x)とする。このときg(f(x))=xである。

y=f(x)の逆関数x=ｆ^(-1)(ｙ)にy=f(x)を代入するとｆ^(-1)(f(x))=x

>つまり逆関数がy=g(x)であるならばx=g(y)も当然成り立つと考えていいのですよね？

そうですね。
以上、ごたごたした説明(笑い）となりましたが、不明なところは再度質問してください。

KENZOU · Answer

>もちろん上のように書き換えられたならば積分は計算できるのですが
積分計算はできるということですから、逆関数とは？ということを中心に補足してみます(←すでに多くの方がご回答されていますので蛇足の補足）。
［関数の定義］2つの集合Ｘ,Ｙがあって集合Ｘの構成要素ｘが集合Ｙの構成要素ｙに１：１に対応しているとき、集合Ｙは集合Ｘの関数と呼び、ｆ：Ｘ→Ｙまたはｙ＝ｆ(ｘ)と表し（ｆは関数functionのｆ）、ｘを独立変数、ｙを従属変数と呼びます。具体的には、ｙ＝２ｘ＋３という関数を考えると一つのｘの値に対してｙの値は必ず1つ対応しますね。逆にｙの1つの値に対してｘの値は必ず１つ対応します。このような関係を”１対１の対応の関数と”呼んでいます。しかし世の中、例外は必ずあるもので（笑い）、ｙ＝ｘ^2という関数を考えましょう。ｘの1つの値に対してｙは必ず1つ対応していますが、ｙの1つの値に対してはｘは2つある場合もありますね（1=(±1)^2）。この場合、逆の対応は関数の定義からして関数とはなりません（ただしｘの定義域を決めれば関数となる）。

［逆関数の定義］y=f(x)が”１：１の対応”をしているとき、x=f(y)で定義されるｘの関数ｙをf(x)の逆関数と呼び、x=ｆ^(-1)（ｙ）と表します。^(-1)-1乗ではなく、逆関数を表す記号であることに注意してください。つまりｆ^(-1)（ｙ)≠1/f(ｙ）。
［逆関数の例］
　ｙ＝２ｘ＋３→ｘ＝（ｙ－３）/２
　ｙ＝ｘ^２→ｘ＝√y（ただしｘ>=0），ｘ=-√ｙ（ただしx<=0）
　ｙ=sinｘ→ｘ=sin^(-1)ｙ
逆関数をグラフに書く場合、縦軸ｘ、横軸ｙとなります。しかし、慣例上縦軸はｙ、横軸はｘとしていますからこれに合わせるとした場合、例えばｘ=sin^(-1)ｙはｙ=sin^(-1)ｘと書かれます(←普通このような書き方をします）。グラフのイメージはｙ=sinｘが横方向に波が描かれるのに対してこの逆関数は縦軸方向に波が描かれることになります(←ｘ軸とy軸の入れ替え：ただし軸の向きに注意。絵を描けば分かる）。

yoikagari · Answer

∫[0→1]g(x)dx=∫[0→1]g(y)dyがわからない
ということでよろしいでしょうか？

積分範囲が一緒なら、変数に関係なく定積分の値は等しいのです(教科書などで確認してください)。

実例で見て見ます。
∫[0→1]xdx=∫[0→1]ydy=1/2ですよね。
∫[0→1](x^2-2x)dx=∫[0→1](y^2-2y)dy=-5/3ですよね。
∫[0→1](x^4+x^3+2)dx=∫[0→1](y^4+y^3+2)dy=31/12ですよね。

これがわかれば、置換積分と部分積分を用いて
I=∫[0→1]g(y)dy=I=∫[0→π/2]{x*(dy/dx)}dx=∫[0→π/2]x(sinx)'dx=[(xsinx)]_0^(π/2)-∫[0→1]sinxdx=π/2-1
と計算できます。

proto · Answer

質問の括弧の所でいわれていることについて解説しますと

もともと
　　y=f(x)
が与えられていて
その式を変形して
　　x=g(y)
という形になったとします
でこのgという関数を新しい関数として扱いたいんですが
上の書き方だとyを代入してxを返す形になってます
でも、他の関数と同様にxを代入してyを返す形の方が、普段から慣れてますので
gという関数を、xとyを書き換えて
　　y=g(x)
という形で定義しましょう
という話です、(わかるかな？)

具体的な話を出すならば
sin関数の逆関数は一般にはarcsinです
『アークサイン』と読みます
つまり
　　y=sin(x)
を変形すると
　　x=arcsin(y)
というかたちになるのです
そこでarcsinを定義するときにxとyを書き換えて
　　y=arcsin(x)
という形で定義するのです

途中で書き換えを行っているので
　　y=sin(x) ⇔ y=arcsin(x)
にはなりません(わかると思いますが)

さらに
　　I=∫[0→1]g(y)dy
に書き換えられるというのは
＃１の方が説明している内容ですが
突然sinxの逆関数といわれてもイメージしにくいだろうから
もとのsin関数のグラフを描いて
y軸の0から1まで
y軸にそって積分する感じだよ
ということでは無いでしょうか
(このへんちょっと自信ないですが)

まぁ、積分の値は変数を書き換えても同じなので
　　I=∫[0→1]g(x)dx =∫[0→1]g(y)dy
になるのは当たり前ですが
(それどころか関係ないアルファベットを持ってきて
　　I=∫[0→1]g(x)dx=∫[0→1]g(t)dt
としても、問題ないです、意味は無いですが)

ここまで書いた話は、結局、形式的な話で
問題のsinxの逆関数g(x) (=arcsin(x))の不定積分を求めたい場合の解法としては
　　(d/dx)arcsin(x)=1/sqrt(1-x^2)
(sqrt(x)は√xの意味ね)
となるので
　　∫arcsin(x)dx=∫(x)'*arcsin(x)dx
と見て、部分積分して
　　∫arcsin(x)dx=x*arcsin(x)-∫x/sqrt(1-x^2)dx
を計算すればいいことになります
(右辺の不定積分は初等関数で表せますし)

かなり長くなってしまいましたが
少しでも参考になれば幸いです

leige · Answer

x=sintの置換積分でとくというのはどうでしょうか。

kony0 · Answer

逆関数がなんたるかという問いと思われますが、とりあえずこの問題に対して俗っぽく言えば・・・
y=sinxのグラフを
・時計回りに90度回転させて
・上下を反転させると
ちょうどx軸とy軸が入れ替わる形になりますよね？

という説明ではどうでしょう？

例として、f[x]=2x+1の逆関数はf^(-1)[x]=(x-1)/2ですが、y=2x+1のグラフに対して上記の操作をすると、y=(1/2)x-1/2のグラフが出てきます。

ちなみに、上の操作をするとわかると思いますが、I=∫[0→π/2](1-sinx)dxになると思います。

逆関数の意義

＞正しくはまずx=2yからy=1/2xとしてこれがy=g(x)。

＞ｙ＝２ｘ＋３(y=f(x))→ｘ＝（ｙ－３）/２(x=g(y))

>もちろん上のように書き換えられたならば積分は計算できるのですが

この回答への補足

∫[0→1]g(x)dx=∫[0→1]g(y)dyがわからない

質問の括弧の所でいわれていることについて解説しますと

x=sintの置換積分でとくというのはどうでしょうか。

逆関数がなんたるかという問いと思われますが、とりあえずこの問題に対して俗っぽく言えば・・・

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