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数学の極限の問題です!

(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x


(2)limx→0(3^x -2^x)/x

これらの極限の解き方教えて下さい!
(ロピタルの定理を使わずにお願いします)

質問者からの補足コメント

  • (1)の指数は1/xです

      補足日時:2018/04/30 00:42
  • できれば途中の計算式もお願いします

      補足日時:2018/04/30 12:22

A 回答 (4件)

(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x


これと似た極限の公式でx^2を除去したものがあります。
limx→0(1+x)^1/x=e_①
このeを底とした対数を使って(1)の対数をとると
loge{(1+x+x^2)^1/x}=(1/x}loge{1+x+x^2}
ここで対数関数の近似式としてloge{1+x+x^2}≒x+x^2の近似式があるので
(1/x}loge{1+x+x^2}≒(1/x}(x+x^2)=1+x
1+xのlimx→0の極限をとると1になる。(1)の対数をとったら極限が1になったから、
たいすうの逆演算の指数をとると、exp(1)=eとなる。
(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x=e
別解:上記①の公式をもっと直接使うと
limx→0(1+x+x^2)^(1/x)
=limx→0(1+x)^(1/x)・(1+x^2/(1+x))^(1/x)
ドットより前の部分の極限はeとなる。ドットより後ろの部分の極限は対数をとると
limx→0 (1/x)log(1+x^2/(1+x))
(1/x)log(1+x^2/(1+x))≒x/(1+x)の極限は0になる。
よってドットより後ろの部分の極限は1となる。
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(1) は対数をとれば (2) と同じようにできるので (2) だけやる.



#1 に書いたやつよりもっと直接的に f(x) = 3^x - 2^x とおくと f'(x) = 3^x log 3 - 2^x log 2 だからこの極限は
f'(0) = log 3 - log 2.
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だったら (1) は対数をとれば終了.

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(1) の指数はどれなんだろ. (2) は分子を (3^x-1) - (2^x-1) にすればほぼ終わり.

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=lim[x→∞] 1/(1+x)
=0

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まず、lim[t→∞] { t / (e^t-1) } = 0は明らか、とします(※)。
で、e^t-1 = xとおくと、t→∞というのはx→∞ということ。
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= f'(g(x)) × g'(x)
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(log|y|)'
= y' / y
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>さらにロピタルの定理を用いて
>=lim(x→0) ((-4cos2x)/2)*1
正:=lim(x→0) ((4cos2x)/2)*1

>=-2
正:=2

失礼しました。

[別解] ロピタルの定理を使わない方法なら

>lim(x→0) (1-cos(2x))/(xlog(1+x))

倍角公式をsin^2(x)=(1/2)(1-cos(2x))を逆に使って

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=lim(x→0) 2(sin(x))/x)^2*lim(x→0)(x/log(1+x))
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lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e  を用いて

=2*1/log(e)
=2*1/1
=2

#2です。

凡ミスを訂正します。
>=lim(x→0) ((-2sin2x)/(2x))*(log(e))^(-1)
正:=lim(x→0) ((2sin2x)/(2x))*(log(e))^(-1)

>さらにロピタルの定理を用いて
>=lim(x→0) ((-4cos2x)/2)*1
正:=lim(x→0) ((4cos2x)/2)*1

>=-2
正:=2

失礼しました。

[別解] ロピタルの定理を使わない方法なら

>lim(x→0) (1-cos(2x))/(xlog(1+x))

倍角公式をsin^2(x)=(1/2)(1-cos(2x))を逆に使って

=lim(x→0) 2(sin^2(x))/(xlog(1+x))
=lim(x→0) 2(sin(x))/x)^2*(x/log(1+x))
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lim[x->1] (x+1)/(x-1)^2
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これこそまさにxを1とすると2/0となってこの数字はあり得ません。
じゃあどうするか。xは1付近で

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