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a1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して
(1) a2 n+1-a2n = an -an-1 が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
(2) an<2 となることを示せ
(3) lim an を求めよ
うまく数列の小さい文字(aの右下の1とかn)が打てないので ワードで書いたものを添付します。あと、√の中には1+anまで入ります。よろしくお願いします。

「a1=1 , an+1 = √1+an 」の質問画像

A 回答 (3件)

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、


{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1) より前に、(2) を兼ねて、
0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、
話の流れがスムースかもしれません。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。

(*) Bolzano-Weierstrass の定理
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c53 …

この回答への補足

Alice_44さま
本当にありがとうございます。だいたいわかりましたが、
最後の問題の 
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。
の二次方程式の解き方がが分かりません。教えていただけませんか?
厚かましいおねがいですみません。よろしくお願いします。

補足日時:2010/04/16 00:07
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この回答へのお礼

お礼遅くなりました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/27 10:59

No.1のKulesです。


添付をやっとみました~そういう問題なんですね(笑)
(1)の式が成り立つことを示すにはそのまま解けばいいだけです。つまりa_(n+1)=√(1+a_n)とa_n=√(1+a_(n-1))を用意して両辺2乗して引くだけです。ただしn-1を作った時点でn=1の時が考えられなくなるのでその点は注意して下さい。
単調数列であることを示すにはa_(n+1)-a_nが常に正か常に負であることが言えたらよいです。
で、この問題の場合a_nが常に正は簡単に言えそうですので、上で成り立つことを示した式をちょちょいと変形してやると、a_(n+1)-a_nとa_n-a_(n-1)が同符号であることが示せそうです。
(2)他にも方法はある気がしますが数学的帰納法でよいと思います。
(3)n→∞でってことですよね?多分(1)でa_nが単調増加であることが示せていると思うので、上限さえ設定すれば片側のはさみうちでけりがつきそうです。答えはたぶん(√5-1)/2のような気がしますが、全く自信はないです。解き方も忘れてしまったなあ…

以上参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

Kulesさま
ありがとうございました。2乗とかの記入方法が分からなくて、すごく見にくい問題になってしまったのに、解答いただいて、感謝です。それも二回も。答えあっています。すごいです。また、質問、出すと思うのでよろしくお願いします。本当にありがとうございました。

お礼日時:2010/04/14 10:30

とりあえずものすごく読みづらいですな…


・ルートの中身は()で括る(あるいは^(1/2)とする)
・下付き文字は_()で書く
・上付き文字は使わない。累乗は^を使う
と私はしています(しなくてもわかる時はこの限りではありません)
この書き方をすると
a_1=1,a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1 ,2,3・・)に対して
(1)a_(2n+1)-a_(2n)=a_n-a_(n-1)が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
となると思うんですが…なりますかね?
(1)に至っては下付き文字の有効範囲がわからないし2が2乗のつもりなのか何なのかがわからないんで
ちょっと答えようがないです。
ということで「これで合ってるか?」を捕捉要求させていただきます。

この回答への補足

本当にありがとうございます。数式の記入方法まで教えていただき恐縮です。調べてもわからなくて、、、感謝です。教えていただいたように問題書き直します。
 a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3・・)に対して、次の問題に答えよ。
(1) a^2_(n+1) - a^2_n = a_n - a_(n-1) が成り立つことを示し、数列{a_n}が単調数列であることを示せ
(2) a_n<2 となることを示せ
(3) lim a_n (n→∞)を求めよ
以上問題集に書いてあるとおりです。本当に何度もありがとうございます。よろしくお願いします。

補足日時:2010/04/14 10:33
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この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。ありがとうございました。これらもよろしくお願いします。

お礼日時:2010/04/27 11:00

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