lim{(a^x＋b^x）/2}^1/x x→0 (a,b>o) この

lim{(a^x＋b^x）/2}^1/x x→0 (a,b>o) この問題がわかりません。だれか解き方を教えてください。

No.6 回答者： lineage_of_kei 回答日時： 2010/11/06 03:57

横から失礼

Ｎｏ．５様

＞x→0で
＞{(a^x＋b^x）/2}^1/x＝1/{(a^(-x)＋b^(-x))/2}^1/x
＞が成立する。

よろしければこの式を証明していただけないですか？私はこの式を

{(a^x＋b^x）/2}^1/x　×　{(a^(-x)＋b^(-x))/2}^1/x　＝１

の形式で示すことにしたのですが、計算してみると

[ {(a^x＋b^x）/2}^1/x　×　{(a^(-x)＋b^(-x))/2} ]^1/x
=[ 1 + a^x×b^(-x)/2　＋ b^x×a^(-x)/2 ]^1/x
=[ 1 + {(a/b)^x+(b/a)^x}/2 ]^1/x
となりますよね？これって１に収束するのでしょうか？

ご教授お願いします。

No.5 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/02 18:48

{(a^x＋b^x）/2}^1/x (x→0) なのか。

問題間違えた。
さてもしもこの極限値が存在すると仮定すれば

x→0で
{(a^x＋b^x）/2}^1/x＝1/{(a^(-x)＋b^(-x))/2}^1/x
が成立する。
ここで相加平均相乗平均を適用して
(a^(-x)＋b^(-x))/2≧1/√((ab)^x) より

{(a^x＋b^x）/2}^1/x＝1/{(a^(-x)＋b^(-x))/2}^1/x≦√(ab) ・・・・(1)

また同様に
(a^x＋b^x）/2≧√((ab)^x) より
{(a^x＋b^x）/2}^1/x≧√ab ・・・・・・・・(2)

したがって(1),(2)より
x→0とすると
　　　　　　{(a^x＋b^x）/2}^1/x　→　√ab
ただ注意しないといけないのは極限が存在するとしてあるので、
実際に極限が存在することをさらに示さないといけない。これはぜひ貴方が示すべき。
(まあ本当は僕みたいなくどいやりかたしなくてももっと手軽にできるが、一応面白いやり方を
見つけたので紹介しておいた。)

No.4 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/02 11:04

この問題なかなかいいね。

一瞬にしてできそう。
今0<a≦bとすると、(逆にしても同じ)
a^x≦(a^x＋b^x)/2≦b^x　だから
a^(1/x)≦{(a^x＋b^x)/2}^(1/x^2)≦b^(1/x)

x→∞とするとa,bは正だからa^(1/x)→ 0
b^(1/x)→ 0
なので"はさみうちの定理"により

{(a^x＋b^x)/2}^(1/x^2) →　0 (x→∞)

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/11/01 17:49

私は展開式でやってみました。

どちらにしても微分を使います。
ｆ(ｘ)＝{(ａ^x＋ｂ^x)/2}^(1/x)
ｘ<<１として近似します。
logｆ(ｘ)＝（log[(ａ^x＋ｂ^x)/2})/x
　　　　　～log{１＋(ｘlogａ＋ｘlogｂ)/2}/x
　　　　　～ｘ(logａ＋logｂ)/２ｘ＝(log(ａｂ))/２　　　
　　　　　

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/01 11:38

ヒント）

対数とって、ロピタルの定理使えば極限値は
=√(ab)
と導出できます。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/01 09:45

aとbの大小で場合分けして、

自然対数の底eの定義を思い出す。