【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

数学の極限の問題です!

(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x


(2)limx→0(3^x -2^x)/x

これらの極限の解き方教えて下さい!
(ロピタルの定理を使わずにお願いします)

質問者からの補足コメント

  • (1)の指数は1/xです

      補足日時:2018/04/30 00:42
  • できれば途中の計算式もお願いします

      補足日時:2018/04/30 12:22

A 回答 (4件)

(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x


これと似た極限の公式でx^2を除去したものがあります。
limx→0(1+x)^1/x=e_①
このeを底とした対数を使って(1)の対数をとると
loge{(1+x+x^2)^1/x}=(1/x}loge{1+x+x^2}
ここで対数関数の近似式としてloge{1+x+x^2}≒x+x^2の近似式があるので
(1/x}loge{1+x+x^2}≒(1/x}(x+x^2)=1+x
1+xのlimx→0の極限をとると1になる。(1)の対数をとったら極限が1になったから、
たいすうの逆演算の指数をとると、exp(1)=eとなる。
(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x=e
別解:上記①の公式をもっと直接使うと
limx→0(1+x+x^2)^(1/x)
=limx→0(1+x)^(1/x)・(1+x^2/(1+x))^(1/x)
ドットより前の部分の極限はeとなる。ドットより後ろの部分の極限は対数をとると
limx→0 (1/x)log(1+x^2/(1+x))
(1/x)log(1+x^2/(1+x))≒x/(1+x)の極限は0になる。
よってドットより後ろの部分の極限は1となる。
    • good
    • 3

(1) は対数をとれば (2) と同じようにできるので (2) だけやる.



#1 に書いたやつよりもっと直接的に f(x) = 3^x - 2^x とおくと f'(x) = 3^x log 3 - 2^x log 2 だからこの極限は
f'(0) = log 3 - log 2.
    • good
    • 0

だったら (1) は対数をとれば終了.

    • good
    • 0

(1) の指数はどれなんだろ. (2) は分子を (3^x-1) - (2^x-1) にすればほぼ終わり.

    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


人気Q&Aランキング