数学の極限の問題です！ （1）limx→0（1＋x＋x^2）^1／x （2）limx→0（3^x －

数学の極限の問題です！

（1）limx→0（1＋x＋x^2）^1／x


（2）limx→0（3^x －2^x）／x

これらの極限の解き方教えて下さい！
（ロピタルの定理を使わずにお願いします）

質問者からの補足コメント

• （1）の指数は1／xです

    補足日時：2018/04/30 00:42

• できれば途中の計算式もお願いします

    補足日時：2018/04/30 12:22

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/30 18:54

（1）limx→0（1＋x＋x^2）^1／x

これと似た極限の公式でx^2を除去したものがあります。
limx→0（1＋x）^1／x=e＿①
このeを底とした対数を使って(1)の対数をとると
loge{（1＋x＋x^2）^1／x}＝(1／x}loge{1＋x＋x^2}
ここで対数関数の近似式としてloge{1＋x＋x^2}≒x＋x^2の近似式があるので
(1／x}loge{1＋x＋x^2}≒(1／x}(x＋x^2)=1+x
1+xのlimx→0の極限をとると1になる。(1)の対数をとったら極限が１になったから、
たいすうの逆演算の指数をとると、exp(1)=eとなる。
（1）limx→0（1＋x＋x^2）^1／x=e
別解：上記①の公式をもっと直接使うと
limx→0（1＋x＋x^2)^(1／x)
＝limx→0（1＋x)^(1／x)･(1＋x^2/(1+x))^(1／x)
ドットより前の部分の極限はeとなる。ドットより後ろの部分の極限は対数をとると
limx→0 (1／x)log(1＋x^2/(1+x))
(1／x)log(1＋x^2/(1+x))≒x/(1+x)の極限は０になる。
よってドットより後ろの部分の極限は１となる。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/30 23:06

(1) は対数をとれば (2) と同じようにできるので (2) だけやる.

#1 に書いたやつよりもっと直接的に f(x) = 3^x - 2^x とおくと f'(x) = 3^x log 3 - 2^x log 2 だからこの極限は
f'(0) = log 3 - log 2.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/30 00:44

だったら (1) は対数をとれば終了.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/30 00:31

(1) の指数はどれなんだろ. (2) は分子を (3^x-1) - (2^x-1) にすればほぼ終わり.