極限の計算

lim [x→∞]√(2x^2＋1)/x
の計算の仕方が分かりません
誰か詳しくお願いします
答えは√2になるそうです

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/03/28 02:05

lim [x→∞]√(2x^2＋1)/x

y = 1/xとすれば

lim [y→0]y*√(2/(y^2)＋1)

y*√(2/(y^2)＋1)をテイラー展開/マクローリン展開すると

√2 + (√2)*(y^2)/4 - (√2)*(y^4)/32 + (√2)*(y^6)/128 - (5√2)*(y^8)/2048 + ...

y -> 0なので、

lim [y→0]y*√(2/(y^2)＋1) = √2

となる。
∴　lim [x→∞]√(2x^2＋1)/x = √2

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/28 03:30

(2x^2+1)/x^2

だったらわかるかな?

No.3 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/03/28 11:47

x>0のとき、x=√x^2だから、√(2x^2＋1)/x=√(2x^2＋1)/√x^2=√(2+1/x^2)。

x→∞のとき、√(2+1/x^2)→√2。