証明 極限を使ったeの表示

教科書にlim[h→0](1+h)^1/h=eの証明がのっていたのですが
分からないところがあるので教えて下さい。

[証明]　(logx)'=1/x より，x=1における微分定数は1である。
　　　　したがって，微分係数の定義式から
　　　　
　　　　　lim[h→0]log(1+h)-log1 /h=1
　　　　左辺を変形して
　　　　　lim[h→0]1/h log(1+h)=lim[h→0]log(1+h)^1/h=1
また
　　　　　1/h=x すなわち　h=1/x
　　　　とおくと，x→±∞のときh→0であるから
　　　　　lim[x→∞](1+1/x)^x
　　　　　=lim[x→-∞](1+1/x)^x
　=lim[h→0](1+h)^1/h=e

この証明の途中までは分かるのですが、「また」というあたりから何をしているのか分かりません。
何故logが無くなったか、もろもろ教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/04/11 17:51

"e"をどのように定義しているかが問題です。

（a^x)'=a^xとなるaをeの定義としているのか
lim[x→∞](1+1/x)^xを"e"としているのか、が問題です。

前者であるなら"また"よりも前だけを証明とすればよいし、
後者であるなら"また"よりも後ろだけを証明とすればよい。

補足として、
lim[x→-∞](1+1/x)^x=lim[t→∞](1-1/t)^(-t) (t=-xと置き換え)
=lim[t→∞]{(t-1)/t}^(-t)=lim[t→∞]{t/(t-1)}^t
=lim[t→∞]{1+1/(t-1)}^t=lim[t→∞]{1+1/(t-1)}^(t-1)*{1+1/(t-1)}
=e
となります。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/11 17:45

要するに

1/h=x すなわち　h=1/xを
lim[h→0](1+h)^1/h
に代入すると
lim[h→0](1+1/x)^xとなり
これはeの定義の式なので
lim[x→-∞](1+1/x)^x=e
→lim[h→0](1+h)^1/h=e
となるということです

前半と後半は違う証明法（２種類の解法を示している、後半は別解）です
前半は
lim[h→0]log(1+h)^1/h=1
の時点で証明は終わり（log(e)=1なので）です