lim[n→∞] n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)} はどうやって求めるのでしょうか？

lim[n→∞] n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}
はどうやって求めるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/26 17:02

たびたび、すみません。

　e=Σ[k=0→n]1/k!+(e^θ)/(n+1)! (0<θ<1)
でした。
ただ、以降の議論は同様です。

　n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=n!{-log(1-(e^θ)/e(n+1)!)}
　　　≦n!2e^θ/e(n+1)!<2/(n+1) → 0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
マクローリン展開の正しい形はこうなるのですね。
とても参考になりました。

お礼日時：2022/03/26 18:04

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/26 22:43

つづき

Σ[k=0→n]1/k!)＞ｅ－2/(ｎ＋1)!
logΣ[k=0→n]1/k!)＞log{ｅ－2/(ｎ＋1)!｝＝1＋log{1－2/ｅ(ｎ＋1)!｝
1－logΣ[k=0→n]1/k!)＜－log{1－2/ｅ(ｎ＋1)!｝
n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}＜－ｎ! log{1－2/ｅ(ｎ＋1)!｝
ここでｎ!＝(ｎ＋1)!/(ｎ＋1)とすれば上の右辺は
1/(ｎ＋1)と(1/ｈ)log(1＋1/ｈ)の積の形になる
ただしｈ＝－2/ｅ(ｎ＋1)!
ゆえにｎ→∞のときｈ→0　(1/ｈ)log(1＋1/ｈ)→1　1/(ｎ＋1)→0だから
表題の数列は0二収束します。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/26 20:50

問題はｅとΣ[k=0→n]1/k!)の誤差が1/(ｎ＋1)!の程度に

なることが示せればよいですね。
ｅ－Σ[k=0→n]1/k!)＝{1/(ｎ＋1)!}{(1＋1/(ｎ＋2)＋1/ん＋2)(ｎ＋3)＋・・・}＜{1/(ｎ＋1)!}{1＋1/2＋(1/2)^2＋・・・}＝2/(ｎ＋1)!
になります。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/26 15:36

誤りました。

失礼しました。

0≦x<1/2のとき
　f=2x+log(1-x) ≧0・・・・①
を示す。
　f'=2-1/(1-x)≧0
だから、fは単調増加で、f(0)=0 だから　f≧0 となり、①が成立。
すると
　2x≧-log(1-x)

ここで、x=θⁿ/e(n+1)!　とすると、
　n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=n!{-log(1-θⁿ/e(n+1)!)}
　　≦n!2θⁿ/e(n+1)!<2/e(n+1) → 0

この回答へのお礼

ありがとうございました。
理解出来ました。

お礼日時：2022/03/26 18:04

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/26 11:11

e=Σ[k=0→n]1/k!+θⁿ/(n+1)! (0<θ<1)

1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=log{(e-θⁿ/(n+1)!)/e}
　=log{(1-θⁿ/e(n+1)!)}≦θⁿ/e(n+1)!<1/e(n+1)!

n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}<n!/e(n+1)!=1/e(n+1) → 0

この回答へのお礼

1-log(Σ[k=0→n]1/k!)
= - (log(Σ[k=0→n]1/k!) -1)
= - (log(Σ[k=0→n]1/k!) -loge)
= - log{(Σ[k=0→n]1/k!)/e}
= - log{(e-θⁿ/(n+1)!)/e}
= - log{(1-θⁿ/e(n+1)!)}
≧ θⁿ/e(n+1)!

となりませんか？

お礼日時：2022/03/26 15:02