円と方程式

問題が・・・平面状の点（x.y）が単位￥上を動くとき、15x^2 + 10xy - 9y^2　の最大値と最大値を与える点Ｐの座標を求めよ。ただし、単位演習とは原点を中心とする半径１の円周のことである。
・・・で、答えはＰ（5/√26 ,1/√26）または
Ｐ（-5/√26 ,-1/√26）のとき最大値１６

というものです。最大値を求めようと
f(x)=15(x+ 1/3y)^2 + 22/3 y^2
なんて平方完成してみたんですがそこでとまっちゃいました・・・。回答までいたりません・・・

No.2 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2006/08/22 21:52

助変数表示を使うのが良いと思います。

x^2+y^2=1より、x＝cosθ、y＝sinθ　(0≦θ＜2π)と置ける。
Ｐ＝15x^2 + 10xy - 9y^2＝12cos2θ＋5sin2θ＋3＝13sin(2θ＋α)＋3≦16。‥‥(1)
等号成立は、sin(2θ＋α)＝1のとき。
最大値は簡単に求まりますが、それを与えるx、yの値が求めにくい。
計算の労をいとわなければ求められますが、その部分の解き方をちょつと工夫してみます。

(1)において、cos2θ＝a、sin2θ＝bとします。
そうすると、a＾2＋b＾2＝1のとき、k＝12a＋5b＋3の最大値を求める問題に帰着します。
これは、ab平面上で直線：k＝12a＋5b＋3が、円：a＾2＋b＾2＝1に接するときであることは直ぐ分かるでしょう。
それ以降は、簡単と思います。

No.8 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/08/26 01:11

15x^2+10xy-9y^2 において、x=cosθ、y=sinθ と置く。

そうすると
15x^2+10xy-9y^2
=15(cosθ)^2+10sinθcosθ-9(sinθ)^2
=9cos2θ+6(cosθ)^2+5sin2θ
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2 より
与式=9cos2θ+3cos2θ+3+5sin2θ
=12cos2θ+5sin2θ+3
=13sin(α+2θ)+3 となる。
ただし、α=arctan(12/5)
α>0 であるので、0<α<π/2、または、π<α<3π/2

従って、最大値は16で、sin(α+2θ)=1、つまり、α+2θ=π/2 のときである。
このときの sinθ、cosθ を求める。
sin(2θ)=sin(π/2-α)=cosα=5/13
2・sinθ・cosθ=2・sinθ・√{1-(sinθ)^2}=5/13
4・(sinθ)^2・{1-(sinθ)^2}=(5/13)^2
ここで、(sinθ)^2 をY とする。
4Y(1-Y)=(5/13)^2
4Y^2-4Y+25/169=0
Y={2±√(4-4・25/169)}/4=(1±12/13)/2
Y<=1 でなければならないから、Y=1/26
∴y=±1/√26
x=1-1/26=25/26
∴x=±5/√26
x>0 のとき、α+2θ=π/2 が成り立つためには、π<α<3π/2 であってはならず、θは第一象限になくてはならない。
このとき、y>0 でもある。故に、x=5/√26、y=1/√26
x<0 のとき、α+2θ=π/2 が成り立つためには、0<α<π/2 であってはならず、θは第三象限になくてはならない。
このとき、y<0 でもある。故に、x=-5/√26、y=-1/√26

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/24 16:22

　No.6は、「ご当人の悪口のセンスのなさ」については簡潔に証明できていると思いますが、肝腎の「下手でない解法」が書いてないのでは画竜点睛を欠くというものです。

わははは。
　geba_geba氏（古くさい名前ですねえ。歳がばれますよ）はこれが初めての回答で、質問回数は0。他の回答を見られるのが恐くて別ハンドルを作らねばならないようでは、悪口のセンスばかりか数学のセンスもお持ちでない、と予想されます。
　さて、この予想の「上手な」証明はどうやればいいか、教えてもらえませんかね。

No.6 回答者： geba_geba 回答日時： 2006/08/24 11:18

自己満足のために、わざわざ下手な解法を書き込んで得意になっている愚かな輩がいる。

まぁ、そんな奴には相手にならない方が賢明だね。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/24 00:18

f(x,y) = a(x^2) + 2hxy - b(y^2)

ただしa=15, b=9, h=5
が単位円上で取る最大値をmとすると
m = a(x^2) + 2hxy - b(y^2)　…(1)

　これって、原点を中心とする双曲線の方程式じゃないですか。
　双曲線(1)が単位円に接している。その接点こそが求める答です。このことから、接点は二つあり、一方が(x,y)=(u,v)なら他方は(x,y)=(-u,-v)である、という関係が直ちに分かります。

　せっかくキレイな格好をしている問題なんですから、回答No.1,2,3のような解析幾何っぽいアプローチは捨て難いですね。

　ただ、(1）式のままだと双曲線の軸が傾いているのが具合悪い。そこで原点を中心にグラフを回転して眺めることで、傾きを修正してやりましょう。どうやるかというと、グラフを回転したときの直交座標系を(X, Y)として
x = X + pY
y = Y - pX …(2)
を考えます。これを(1)式に代入したときにXYの項が消えるようにpを選ぶんです。
（本格的には x=Xcosθ+Ysinθ, y=Ycosθ-Xsinθとやるもんなんですが、ここでは三角関数を見たくないので手抜きしています。）

　実際に(2)の二つの式を(1)式に代入して整理してみると
m = -(b(p^2)+2hp-a)(X^2)+(a(p^2)+2hp-b)(Y^2)-2(h(p^2)-(a+b)p-h)XY
となりますから、XYの項の係数を0にするpを決めます。もちろん
h(p^2)-(a+b)p-h = 0
をpについて解けば、求めるpが（二つ）得られます。で、pを一つ選ぶと、これで (2)式で表されるX Y座標系が具体的に決まります。
　そこで
A=b(p^2)+2hp-a, B=a(p^2)+2hp-b
と書く事にすると、(1)式は
-A(X^2)+B(Y^2)=m　…(3)
になり、これが（X Y座標系における）傾きがない双曲線の方程式になっていることはお分かりでしょう。
　ふたつpが出て来る（従って、A,Bも二通りできる）のは、元のグラフを回転して、双曲線の二本の曲線が (i)左右に分かれるように見るか （つまりX Yのグラフ上で><という格好）、(ii)上下に分かれるように見るか（つまりX Yのグラフ上で、ええと、書けないや）、の二通りに対応しています。m＞0は自明ですから、(i)ならA＞0, B＞0だし、(ii)ならA＜0, B＜0です。
　もちろん、(i),(ii)どっちを選んでも答は同じです。なぜなら、同じひとつのグラフを眺める際の角度が(i)と(ii)では90度違う、というだけのことですから。なので、(i)(ii)（あるいはpの二つの解）は勝手に好きな方を選んで構いません。

（もし「m＞0は自明」というのが心配なら、単位円上の点(x,y)=(1,0)をa(x^2) + 2hxy - b(y^2)に代入してみてはどうでしょうか。mはそれより小さい筈はありません。なぜならmは最大値だからです。）

　さて、x,yからX,Yへの変換は単位円の方にもやらなくちゃいけません。すると
X^2 + Y^2 = 1/(1+p^2)　…(4)
になる。X Yは直交座標系なので円は円のままだけれど、寸法が変わります。（上記の「本格的には…」のやりかたをすると、円の寸法も変わらないんです。）

　以上でグラフの回転が完了です。あとは自明も自明。

　双曲線(3)が円(4)に接している場所、すなわち接点(X,Y)は、明らかに、X軸上（上記の(i)の場合）にあるか、あるいはY軸上（上記の(ii)の場合）にあります。(4)式と(3)式から、
(i)なら接点はX^2=1/(1+p^2), Y=0 だから　m = -A/(1+p^2)
(ii)なら接点はX=0, Y^2=1/(1+p^2) だから　m = B/(1+p^2)
です。
　これで最大値mが分かりました。最後に(2)式を使って接点の座標(X,Y)を(x, y)に変換して、出来上がりです。

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2006/08/23 14:20

少し思いついたんで。

。。

f(x)=15x^2+10xy-9y^2
x^2+y^2=1 より
f(x)=25x^2+10xy+y^2-10=(5x+y)^2-10

ということで5x+yの最大値と最小値を求める問題に変換できます。
5x+y=k　とおくと
y=k-5x

x^2+(k-5x)^2=26x^2-10kx+k^2=1
26x^2-10kx+k^2-1=0
D/4=25k^2-26k^2+26=-k^2+26≧0
kの最大値は√26、最小値-√26
f(√26)=26-10=16
f(-√26)=26-10=16
その時のxは
x=5k/26=±5√26/26=±5/√26

余り汎用性ないかな。。。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2006/08/22 22:03

No.1さんのようにやろうとすると、y=±√(1-x^2)を15x^2+10xy-9y^2に代入することになり、なかなか大変だと思います。

x,yが単位円上を動くから、x=cosθ、y=sinθとおける（0≦θ＜2π）。

このとき、

15x^2+10xy-9y^2
=15cos^2θ+10sinθcosθ-9sin^2θ
=15cos^2θ+5sin2θ-9(1-cos^2θ)
=24cos^2θ+5sin2θ-9
=12(1+cos2θ)+5sin2θ-9　（∵cos^2θ=(1+cos2θ)/2）
=5sin2θ+12cos2θ+3　※

となる。ここで三角関数の合成をすると、

※=13sin(2θ+α)+3となる。
（ただし、αは、sinα=12/13、cosα=5/13となる角）

よって、与式が最大になるのは、sin(2θ+α)=1のときで、最大値は13+3=16である。
このとき、2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり、このθをx=cosθ、y=sinθに代入すれば、x,yの値が判る（sin(α/2),cos(α/2)が必要になるのでちょっと面倒かも。）

No.1 回答者： Musicful-hearts 回答日時： 2006/08/22 21:02

まず、単位円の方程式を求めましょう。

→x^2+y^2=1

これを利用し、15x^2+10xy-9y^2をxだけの方程式にして、2次関数と同じ要領で最大値を求めてください。