数II 1の三乗根のうち、虚数であるものの１つをωとするとき、ω^2019の値を求めよ。という問題な

数II

1の三乗根のうち、虚数であるものの１つをωとするとき、ω^2019の値を求めよ。という問題なのですが、計算方法と答えを教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： W.E 回答日時： 2019/02/17 11:01

前提として、1の3乗根をωとすると、ωの二乗＋ω＋1=0、ω³=1です。

よって、ωの2019乗=(ω³)の673乗=1

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/02/21 18:52

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/17 13:05

まあ、正解は既に出ているのだけど、一般的なやり方を書いておきます。

(与えられた問題では 2019 が「3の倍数」なので「1」になりますが、べき乗が「3の倍数」でない場合は下記のようになります）

複素数を極性式で書けば、n を任意の整数として
　1 = cos(2nパイ) + i･sin(2nパイ)
であり、この3乗根は
　cos[(2/3)nパイ] + i･sin[(2/3)nパイ]
ということなので、「虚数であるものの１つをωとする」ということは、「n が3の倍数でないとき」に
　ω = cos[(2/3)nパイ] + i･sin[(2/3)nパイ]
ということです。

従って
　ω^k = cos[(2/3)knパイ] + i･sin[(2/3)knパイ]

k=2019 であれば
　ω^2019 = cos[(2/3)･2019nパイ] + i･sin[(2/3)･2019nパイ]
　　　　　= cos[2･673nパイ] + i･sin[2･673nパイ]
　　　　　= cos[2パイ] + i･sin[2パイ]
　　　　　= 1
になります。

もし k=2018 であれば
　ω^2018 = cos[(4036/3)nパイ] + i･sin[(4036/3)nパイ]
　　　　　= cos[(1346 - 2/3)nパイ] + i･sin[(1346 - 2/3)nパイ]
　　　　　= cos[(-2/3)nパイ] + i･sin[(-2/3)nパイ]
なので、m を任意の整数として n = 3m + 1 のとき
　ω^2018 = cos[(-2/3)パイ] + i･sin[(-2/3)パイ] = -1/2 - i√3 /2
n = 3m - 1 のとき
　ω^2018 = cos[(2/3)パイ] + i･sin[(2/3)パイ] = -1/2 + i√3 /2
になります。
つまり
　ω^2018 = -1/2 + i√3 /2 または ω^2018 = -1/2 - i√3 /2
です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/02/21 18:53

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/17 11:24

「1の三乗根のうち、虚数であるものの１つをω」は、ω³=1 と云う事です。

2019=3x673 ですから、ω^2019=(ω³)^673=1^673=1 。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/02/21 18:53