三角方程式です よろしくお願いします

「 0≦θ≦π　で　sinθ+ cosθ+sin2θ=-1/2を解け」という問題です。
sinθ+ cosθ=t　と置いて
t+t^2-1=-1/2までやってあとがわかりません。方針が違うのかな？？

No.1 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/10 16:49

そこまで出来たらtの二次方程式を解いて、

t^2=(sinθ+ cosθ)^2を計算すれば、
sin2θが求まります。

この回答へのお礼

なるほど。合成して-1/√2≦t≦1からtを一つに絞って平方してsin2θから2θを２個求めて
平方したから同値関係が崩れているから１個づつ代入して確認すればいいんですね。これでわかりました。２θから求めていくとは気がつきませんでした。平方すると同値でなくなるのでこれはだめだろうなと思って２次方程式を解いた時点でこれはだめだろうとあきらめてたんです。でも、平方して同値をつぶしても２θから行った方が最後がすっきりしますね。恐れ入りました。ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/11 06:59

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/10 17:54

>sinθ+ cosθ=t　と置いて

>t+t^2-1=-1/2までやってあとがわかりません。方針が違うのかな？
t=(√2)sin(θ+π/4)、0≦θ≦πなので　-1≦t≦√2 ...(1)

方針は合ってますよ。
t^2+t-(1/2)=0
t=(-1-√3)/2,(-1+√3)/2
(1)より
t=(-1+√3)/2=√3/2-1/2
y=sinθ+cosθ+(1-√3)/2　（0≦θ≦π）
このグラフの概形を描くと添付図のようになる。
0≦θ≦πの範囲でy=0となるθが１つのみ存在する。
θ=2π/3のとき　
　sinθ=√3/2,cosθ=-1/2なので　y=0
θ=2π/3がただ１つの解であることが分かる。

この回答へのお礼

グラフまで付けていただきありがとうございました。フリーソフトで関数のグラフを書くソフトがあったんでy=sinx+cosx+sin2xのグラフを書いて見て確かめました。丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2012/03/11 07:10

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/10 17:01

「 0≦θ≦π　で　sinθ+ cosθ+sin2θ=-1/2を解け」という問題です。

sinθ+ cosθ=t　と置いて
＞t+t^2-1=-1/2までやってあとがわかりません。方針が違うのかな？？

その方針でいいと思います。
ｔ^2＋ｔ－１/2＝０より、２ｔ^2＋２ｔ－１＝０
解の公式より、
ｔ＝－１／２±ルート３／２
0≦θ≦πだから、０≦sinθ≦１，－１≦cosθ≦１より、
－１≦ｔ≦２だから、ｔ＝－１／２＋ルート３／２
よって、π/2≦θ≦πで、
sinθ＝ルート３／２，cosθ＝－１／２と考えると、
θ＝２π／３

でどうでしょうか？

この回答へのお礼

丁寧に回答いただきありがとうございました、０≦θ≦π/2とπ/2≦θ≦πに分ければよかったんですね。２次方程式を解いて解を比べてθ＝２π／３かな？？てゃ思っていたんですが単に比べるだけじゃだめだなと思ってあきらめてました。ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/11 07:06