x^2+y^2 ≦1、y ≦3xの範囲で|xy^2|を積分解答お願い致します！

解決済

質問者：えぬわいと
質問日時：2021/06/05 18:45
回答数：1件

x^2+y^2 ≦1、y ≦3xの範囲で|xy^2|を積分
解答お願い致します！

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (1件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.1ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2021/06/05 21:55

絶対値で場合分けした後、極座標変換すると、

∫[x^2+y^2≦1,y≦3x] ｜xy^2｜ dxdy
= ∫[x^2+y^2≦1,y≦3x] ｜x｜y^2 dxdy
= ∫[x^2+y^2≦1,y≦3x,x≧0] xy^2 dxdy
　+ ∫[x^2+y^2≦1,y≦3x,x≦0] (-x)y^2 dxdy
= ∫[0≦r≦1,-π/2≦θ≦α] (r cosθ)(r sinθ)^2 rdrdθ
　- ∫[0≦r≦1,-α≦θ≦-π/2] (r cosθ)(r sinθ)^2 rdrdθ　；ただし tanα = 3
= ∫[0≦r≦1,-π/2≦θ≦α] (r^4)(cosθ)(sinθ)^2 drdθ
　- ∫[0≦r≦1,-α≦θ≦-π/2] (r^4)(cosθ)(sinθ)^2 drdθ
= ∫[0, 1] r^4 dr ∫[-1, 3/√10] s^2 ds　　　　　　　　　；ただし s = sinθ
　- ∫[0, 1] r^4 dr ∫[-3/√10, -1] s^2 ds
= { (1/5)1^5 - (1/5)0^5 }{ (1/3)(3/√10)^3 - (1/3)(-1)^3 }
　- { (1/5)1^5 - (1/5)0^5 }{ (1/3)(-1)^3 - (1/3)(-3/√10)^3 }
= 2/15.