exp(ikx)/(x^2+a^2)の-∞から∞までの実定数積分のやり方を教えてください！

exp(ikx)/(x^2+a^2)の-∞から∞までの実定数積分のやり方を教えてください！

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/08 16:53

a, k がともに実数という, かなり身勝手な解釈をしたとしても,

a < 0, a = 0, a > 0
k < 0, k = 0, k > 0
いろいろな可能性がある.
a と k について, もっと詳しく条件を与えてくれないと, 回答は不可能.

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/02/08 12:03

a,kは実数ですか?

その場合、kが正か負かで答えが違ってきます。

k>0の時は次のような経路で∫_c exp(ikz)/(z^2+a^2) dzを計算しましょう。
C1 z:-R→R 実数軸上
C2 z:R→-R 0を中心に半径Rの半円(arg(z):0→π)
この積分の値は留数定理で簡単に求められます。あとはR→∞とするとC2での経路での積分の値が"0"になることからC1の積分の極限値が計算できます。

k<0とするとC2での積分が収束することすら証明することは困難です。(実際は収束します)もちろん値を出すことは非常に難しい。(もちろん実際には値を出すこと自体は可能)

どうすればよいのかは自分で考えましょう。(ヒント：k>0の時C2での積分が収束する理由を考えましょう)

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/08 06:46

私の知識不足でしょうか...

実定数積分とは, どのような積分ですか.
また, a と k に関して説明が一切ありませんが, それでも答えが求められるのでしょうか.

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/02/07 18:31

留数定理を適用して

∫(-∞→∞){exp(ikx)/(x²+a²)}dx＝π・exp(-ka)/a

計算ミスってなければ・・!