∞（無限大）は数字が増加していく状態だと言われましたが？

Question

極限で無限大が出てきますが、
無限大は数字ではなくて、数字が増加していく状態だと言われました。
しかし、なんか納得行きません。
無限大とはなんあのでしょうか？

genec · Accepted Answer

極限値を理解するのなら
εーδ論法を調べてみるといいと思います。
それを極限値を捉える方法とすれば増加している
状態と捉えることができます。
（まぁもっとここは丁寧に言うべきかもしれませんが）
εーδ論法は

やさしい解析学―ベーシックコース
S.K.スタイン (著), 三橋賢市

という本がわかりやすいです。

とりあえずわかったつもりにはなれます。
ただ、一般的にその事柄について本当に正しく理解
しているかは常に疑うべきです。数学の質問は専門の方に聞くのが
一番いいと思います。
ただしい理解の方法を教えてくれるので。

kochory · Answer

＞無限大は数字ではなくて、数字が増加していく状態だと言われました。
前半はそのとおりですが、後半はちょっと問題ありですね。

関数や変数の値が無限大になることを「発散」と言いますが、
「発散」を考えるときには常にその「発散する速さ」も
一緒にして考えなければいけません。

例えば1/xと1/x^2という関数で考えてみましょう。
xを0に近づけるとこれらの関数は共に無限大に発散しますね。
次にこれらの商を取って、(1/x)/(1/x^2)と言う関数を
考えて、xを0に近づけていってみます。
無限大を普通の意味での数として考えてしまうと、分子も
分母もともに無限大に発散するのだから、単純に代入して
割り算すれば1だ、ということになってしまいますが、
カッコを取って計算してみれば、実際はこの関数は
ただのxですから、xを0に近づければ、当然0に収束します。

カッコを取らないで正しい結果を得るためには、上述の
とおり、発散の速さというものを考えなければいけません。
1/xと1/x^2とでは、xを0に近づけていったとき、その発散の
速さは後者のほうが前者より速くなります。
（グラフを描いてみればすぐわかると思います）
つまり、1/xと1/x^2との値の差は、xが0に近づくにつれて
どんどん大きくなるわけです。
よって、これらの比である(1/x)/(1/x^2)は、分母のほうが
分子よりずっと速く無限大へと発散するわけですから、
0に収束することになります。

このように、無限大を考えるとき（特に無限大どうしを
比較したり、演算したりする場合）は、常にその発散の速さと
いうものをいっしょに考えなければいけません。
「無限大は数字が増加していく状態だ」という言いかたは、
このことをちょっと乱暴に表現しているのだと思います。

proto · Answer

その言葉を人の気持ちがわかったつもりで答えますが
関数の極限をとして
　　lim[x→∞]f(x)
を考えたとき、これはxに∞を代入したものではなく
xが大きくなる、どんどん大きく、限りなく大きくなるときのf(x)の値を考える
という事です
細かい定義は他の人が答えて下さってるようなので書きませんが

たとえば、極限の簡単な問題で
　　lim[x→2](x^2)=4
　　lim[x→∞](x+1)=∞
などがありますが
これを見た学生が、何だ代入すればいいだけか
と、間違って理解してしまう事があるのでしょう
そして、そんな学生は
　　lim[x→∞]{log(x^2)-log(x+1)}
と言う問題が出たときに
「∞-∞=0」と答えるかも知れません

だから、∞をただの数と同じように扱わないように
「数字ではなくて、数字が増加していく状態」
と言ったのではないでしょうか

12m24 · Answer

どんな状況を想定されているのかわかりませんが、次のような感じでしょうかね。

・ある数nは∞である
・n+1は∞＋１である
・しかし、　∞＋１→∞　である
・よって、無限大は増加しつづけていく

　えらくいいかげんですが、こんな感じでいかがでしょうか？

takomari · Answer

「どんな数字よりも大きな数」が無限大だということです。
「数字が増加していく状態」という表現は違うかなと思いますが…
下記のURL、見てみてください。
http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/Infinity.html

参考URL：http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/Infinity.html

pepe789 · Answer

以前、何かで聞いたことがあります。

参考になりますか?

光の速さで拡大していく
宇宙の広さだと思います。

∞（無限大）は数字が増加していく状態だと言われましたが？

極限値を理解するのなら

＞無限大は数字ではなくて、数字が増加していく状態だと言われました。

その言葉を人の気持ちがわかったつもりで答えますが

どんな状況を想定されているのかわかりませんが、次のような感じでしょうかね。

「どんな数字よりも大きな数」が無限大だということです。

以前、何かで聞いたことがあります。

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　どんな状況を想定されているのかわかりませんが、次のような感じでしょうかね。