独学で数学を学んでいます！ 今、テイラー展開やマクローリン展開などを勉強しているのですが、この問題に

独学で数学を学んでいます！
今、テイラー展開やマクローリン展開などを勉強しているのですが、この問題にある収束半径がわかりません。どうしてこれが書かれているのでしょう？なんのために収束半径をもとめるのでしょうか？

マセマの参考書で学んでいるのですが、どうして収束半径を求めるのか理解できませんでした-_-b
また、ラグランジュの剰余項もあまり理解できません。ラグランジュ剰余項が0であればテイラー展開とマクローリン展開ができるとのことですが、いまいちピンときません-_-b

どちらか一つでもわかる方いらっしゃいましたらお願いいたします！

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/02/10 10:17

テイラー展開は、e^X(eのX乗、eは自然対数の底、ネイピア数とも言います）、sinX等の関数をp*(X-a)+q*(X-a)^2+r*(X-a)^3+…等のX-aの乗数に定数をかけたものの和で表現する方法です。

（上記のp,q,rの定数も式で表せるのですが、微分・積分、階乗の説明が必要になり、長くなりますので、ここでは省略します）
a=0の場合をマクローリン展開といいます。

X-aの乗数に定数をかけたものの和で表現する利点は、近似値を求めるのが容易になります。
例えば、sin2の値を直接求めるのは近似値であっても困難ですが、テイラー展開（マクローリン展開）であれば、近似値を容易に求めることができます。

ただ、どんな関数でもテイラー展開、マクローリン展開で表現できるわけではありません。また、ある関数がテイラー展開、マクローリン展開で表現できても、Xの値によっては表現できない（成立しない）場合があります。

収束半径とは、ある関数がテイラー展開で表現できる場合、Xの値に制限がつく（ある範囲でしか成立しない）ことを指します。
ラグランジュ剰余項が0というのは、ある関数がテイラー展開で表現できるかどうかの必要条件とお考え下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/02/17 00:20

No.2 回答者： kannnami 回答日時： 2018/02/09 14:09

独学で数学の勉強をされているとのこと、お年は知りませんが、いいですねえ。

そのあたりのことを習ったのは、学生時代、もう60年以上も前のことですので、私の覚えているのはほんのわずかです。
ごく常識的には、ある関数の級数展開は方式に従えば必ずできます（書き表すこと自体は出来る）が、でも、その級数としてあらわしたものが、場合によっては必ずしも収束するとは限りません。収束しなければ（書いてみても）意味がないのですから、その条件として収束半径の存在（たしかに収束する場合がある、ということ）を確かめておかねばならない、のです。もっとお知りになりたいのでしたら、具体的な疑問を出してください。
ラグランジュ剰余項とは、級数展開と元の関数との差（級数展開をしてみても、無限に計算するわけには行きませんから、ある所で打ち切るようなことを考えてみてください。その場合には、差が当然できます）のことです。だから、この剰余項がゼロならは展開できる、のではなくて、むしろ、展開が有効に行われるのであれば、剰余項は（もっと先まで取ってみれば）必ずゼロになる（に近づく）、という、当たり前のことを言っているにすぎません。具体的な剰余項の形はその関数を指定しないと分かりません。指定して計算してみて、この条件を満たさないのなら、それは展開できない、ということです。
うろ覚えですが、お役に立ちましたでしょうか？記憶違いがありましたらご容赦ください。
私も、退官してから、もう一度学びなおしたいと思ったこともありますが、もうスタミナが残っていません。うらやましいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/02/17 00:20

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/09 13:30

この展開したものが、収束するかどうかの判断として、ダランベール収束半径がでているのでは？発散すれば、求める意味もないので、まず、収束しますよと、宣言しているのでしょう！

https://mathtrain.jp/syusokuhankei

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/02/17 00:20