極限

{ａn＋ｂn}と{ａn}が収束するならば{ｂn}が収束することを証明せよ。

という問いです。
１番簡単な方法 お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/04/18 02:07

> １番簡単な方法 お願いします。

一番簡単かどうかは自信ないですけど，ある意味当たり前のことを証明しなきゃならないので，ほんとに定義のところにまで戻って証明することになると思うんです．

次のようなのはいかがですかね?


{a[n] + b[n]}が収束するということは，
∀ε > 0, ∃P ∈ N; ∀n ∈ N, [n > P ⇒ |a[n] + b[n] - A| < ε]
が成り立つようなAが存在するということです．

同様に，{a[n]}が終息するということは
∀ε > 0, ∃Q ∈ N; ∀n ∈ N, [n > Q ⇒ |a[n] - α| < ε]
が成り立つようなαが存在するということです．

このとき，RをR > P，R > Qを満たす自然数とすると，任意のεに対して，
任意の自然数nがn > Rを満たすのであれば，
|b[n] - (A - α)|
= |(a[n] + b[n] - A) - (a[n] - α)|
≦ |a[n] + b[n] - A| + |a[n] - α| (三角不等式)
< 2ε.

そこで，ε' = 2εと置けば，
∀ε' > 0, ∃R ∈ N; ∀n ∈ N, [n > R ⇒ |b[n] - (A - α)| < ε']
が成り立ちます．

これは数列{b[n]}がA - αに収束することに他なりません．(証明終わり)


まあ，頑張ったのですが，もっとエレガントなやり方があるのかも...

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/04/18 07:05

No.2 回答者： yamutya 回答日時： 2011/04/18 05:28

ｌｉｍ　ａｎ　　がＡ

ｌｉｍ　ｃｎ　　がＣに収束するならば
ｌｉｍ（ａｎ＋ｃｎ）＝Ａ＋Ｃ
である

という補助定理を
使っていいなら
ｃｎ＝ｂｎ－ａｎとすればいいので
簡単ですが。

少なくとも
設問より
この補助定理を証明するほうがすっきりしますね。

大学生はイプシロンデルタでやるのが正統派です。
高校レベルでは自明の理で片付けます。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/04/18 07:05