濃度全体の集合の濃度について

集合論についての質問です。
最近集合の濃度について勉強し始め、「集合の濃度そのものの濃度は何か」ということに興味を抱いたのですが、いかんせん基礎知識が足りず自分で調べても答にあたるようなものを探し当てることができませんでした。

少なくとも可算濃度以上であることは自明だと思うのですが、あまり突っ込んだことについてはよくわかりません。とりあえず結果だけでも教えていただけるとありがたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2018/03/02 17:30

『集合の濃度そのもの』というのが『全ての集合の濃度を集めたもの』という意味なら、現代のZFC集合論では、それは集合にならないので濃度も定義できないというのが答えです。

『全ての集合を集めたもの』もそうですが、そのようなものを集合に含めてしまうとラッセルのパラドックスのような矛盾が生じるので、そのようなものは現代の集合論では排除されています。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/04 12:24

いや、実のところよくわからんのですが、面白いご質問なんでついイッチョカミしたくなりました。

もちろん、「あらゆる集合の全体」が集合にならんので「あらゆる集合を『濃度が同じ』という同値関係で同値類に分けた商集合の濃度」というわけには行かないし、「超限順序数の全体」ってのも集合にならん、という事情はよくご承知の上でのご質問であろうかと思います。
　ま、濃度は序数じゃなく基数でしょうから、少なくとも連続体仮説を入れた公理系なら、「濃度には何通りがあるか」と問えば可算無限個じゃないのかな、という気がします。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/02 15:52

「集合の濃度全体」が集合として well-defined じゃないような気もするんだけど, どうなんだろ.

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/03/02 13:13

「集合の濃度そのものの濃度は何か」と云うのが何を表すのかが、良く分りません。

「濃度」とは割合を表すもので、形を形成するものでは無い筈です。

「集合の濃度」とは、それぞれの濃度の平均だと思いますので、
「濃度そのものの濃度」は、「集合の濃度」そのまんまと云う事になると思いますよ。

私の理解不足かもしれません。
具体的な例を挙げて戴けますか。

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2018/03/02 12:46

濃度はスカラー量であって、集合を形成してるわけではないので、「濃度そのものの濃度」という概念は一般ではないと思います。