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確率の問題で、「5人の中から3人を選ぶとき、なん通りありますか」という問題で、(樹形図を書いた方が良いのかもしれませんが、、、)計算で求める方法を教えてください。なるべく中学生にもわかるようにお願いします!

A 回答 (5件)

まず、順番に一人ずつ選ぶことを考えます。


①5人のなかから一人選ぶ → 5通り
②残った4人の中から一人選ぶ → 4通り
③残った3人の中から一人選ぶ → 3通り
計60通りです。
5人から、生徒会長、書記、会計を選ぶなら
この60通りで良いのですが、掃除当番を3人
選ぶという場合は、3人を区別しても仕方がないので、
例えば、A, B, C, D, E のなかから A, B, C の3人を
選ぶのは1通りと数える場合も考えてみます。

最初の①、②、③の選び方では
A、B、Cや B、A、C は選んだ順番で区別しています。
こういう選んだ人は同じだが、選んだ人の順番だけ違うのが
どれだけあるかというと

①'3人のなかから一人選ぶ → 3通り
②'残った2人の中から一人選ぶ → 2通り
③'残った1人の中から一人選ぶ → 1通り

の計6とおりです。ABCの3人の場合
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA の6パタンですね。

なので5人から3人を、選んだ順番の区別をせずに選ぶ場合の
選び方の数は最初に求めた数を重複数で割ってやると

(5×4×3)/(3×2×1) = 60/6 = 10 通り。

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樹形図から10を割り出すのは簡単なんですが、
数式を樹形図からひねりだすのはわりと厄介なので
この説明にしました。
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5・4・3


₅C₃=ーーーーー=10(通り)です。
   3・2・1
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5人から3人を選ぶと必ず2人残るから


3人組と2人組に分ける方法はともに等しい数になります
という事で2人を選ぶ方法を数える
A,B,C,D,Eのなかから
Aが組に入るならば残り1枠の入り方はB,C,D,Eから1人選ぶので4通り
Bが入れば Aを入れると先ほど数えた組の中に既にA-Bがあるのでダブってします よってBが入れば残りの枠はCDEから1人選ぶ3通り
以下 同様に2通り→1通りとなることになるので
2人を選ぶ方法は全部で 4+3+2+1=10通り
これは先ほど言った通り3人を選ぶ方法と同数だから
問題の答えも10通り
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高校で 順列・組み合わせ を習う前は、


樹形図が 一番分かり易いと思います。
その時 辞書式の樹形図を 使ってください。
5人を A,B,C,D,E とします。
辞書式は 分かりますね。
C を選んだ後に A,B に 戻っては いけません。

(A,B,C);(A,B,D);(A,B,E);(A,C,D);(A,C,E);
(A,D,E);(B,C,D);(B,C,E);(B,D,E);(C,D,E) 。
以上 10通り。
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5C3=5!/{(3!)(5-3)!}=(5x4x3x2x1)/{(3x2x1)(2x1)}=5x4/2=10通り


5人から一人目を選びます。5通りあります。
2人目を選びます。4通りあります。
3人目を選びます。3通りあります。

かけ合わせると60通りですけど、、、
ABC ACB BAC BCA CAB CBA のように、一つの組み合わせにつき6通りの重複した組み合わせが発生しますので、6で割ると10通りということです。
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