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次の問題を双対シンプレックス法により解け。
minimize 15x1+7x2+12x3
sub to x1x+2x+x3≧1
3x1+x2+x3≧2
x1,x2,x3≧0

双対シンプレックス法での解き方がいまいち分かりません。
双対シンプレックス法での解き方が分かる方教えてください(>_<)

A 回答 (2件)

回答の「至急!!」とありますが


問題打ち込みミス訂正の確認問合せに応答ないですね。
急ぎではないですか?

3行目が
正:sub to x1+x2+x3≧1
だとすると
x1=x2=1/2,x3=0のとき 最小値=11 となります。
シンプレックス表は参考URLを参考にご自分でお作りください。

参考URL
http://www.komazawa-u.ac.jp/~takai/kyozai/LP.doc

参考URL:http://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/mathpro/ …
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3行目の式


> sub to x1x+2x+x3≧1
不等式の左辺おかしくありませんか?
正しい式に訂正願います。

参考URL:http://www.comp.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MP/Hand …
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Qなぜ、双対問題(双対性)を考えるのですか?

現在、線形計画法を勉強中で、よくわからないことがあります。


例えばこのような問題があるとしまして、

主問題
max Z = 6X1 + 4X2(例えば収益を最大にしたい…)
s.t. 2X1 + X2 =< 70
   3X1 + 4X2 =< 180
   X1,X2 => 0

双対問題
min W = 70Y1 + 180Y2(例えば費用を最小にしたい…)
s.t. 2Y1 + 3Y2 => 6
   Y1 + 4Y2 => 4
   Y1,Y2 => 0

主問題の最適な目的関数値 Z と、
双対問題の最適な目的関数値 W は、必ず一致することは、
シンプレックス法で実際に解いて確認できます。できました。
(参考書として読んでいる本の、標準形での証明・説明はいまいちわかりませんでした…。)

ですが、

なんらかの収益を最大にしたい…という問題を定式化して解けば、
その収益を最大にしたいときの最適解・最適値を求められるなら
主問題の方だけ充分ではないのでしょうか?

上記の式の例ですと式の規模(?)に大した違いはないですが、
問題によって、双対問題に作り直した方が計算しやすい?
といったようなメリットがあるのですか?


なぜ、双対問題を考えるのか、どなたか分かりやすく教えて頂けませんでしょうか。

現在、線形計画法を勉強中で、よくわからないことがあります。


例えばこのような問題があるとしまして、

主問題
max Z = 6X1 + 4X2(例えば収益を最大にしたい…)
s.t. 2X1 + X2 =< 70
   3X1 + 4X2 =< 180
   X1,X2 => 0

双対問題
min W = 70Y1 + 180Y2(例えば費用を最小にしたい…)
s.t. 2Y1 + 3Y2 => 6
   Y1 + 4Y2 => 4
   Y1,Y2 => 0

主問題の最適な目的関数値 Z と、
双対問題の最適な目的関数値 W は、必ず一致することは、
シンプレックス法で実際に解いて確認...続きを読む

Aベストアンサー

私も線形計画法で双対性を教わったとき、「だから何なんだ」でした。しかしラグランジュ乗数法でわかって、線形計画法はその特殊な場合として納得できました。つまり少なくとも私の場合、ラグランジュ乗数法を経由しなければ双対性にどんな意味があるか、わかりませんでした。

f(x) を目的関数、g(x) = 0 を制約条件とすると、最適化問題 min_x {f(x) | g(x)=0} の解は、ラグランジュ関数 L(x,m) := f(x) + m g(x) の鞍点 dL/dx = dL/dm = 0 です。x が主変数、m が双対変数とかラグランジュ乗数と呼ばれるものです。

このとき L を見てわかるのは、最適点においては g を目的関数と思って f を制約条件と思っても x は同じだ、ということです。つまり目的関数と制約条件との役割を入れ替えても解は同じです。

これを制約条件がたくさんある場合に一般化して言うと、最適点において目的関数は制約条件の 1 つと思ってかまわない、ということです。私はこの互換性が双対性の意味だと思ってます。

じゃあ、双対問題を考えると、どんな良いことがあるか?

No.1 で指摘されたように、ラグランジュ乗数、すなわち shadow price の経済的な意味がはっきりします。

主変数がたくさんあって制約条件が少なければ、双対問題の方が変数が少なくできます。すると、主問題より楽に解ける可能性が高いです。

L の鞍点を求めるのに、x に関する最小化と m に関する最大化を交互に行う解法が取れます。(主双対解法と言うのだと思います。)そうすると計算の途中でも「目的関数の最適値における値は、この値とあの値の間 (duality gap) にある」ということが言えます。つまり、とりあえず得られている解が最適解からどれくらい離れているかの評価ができます。

とは言え、最大の利点は先に述べた、目的関数と制約条件とを分けて考える必要がなくなるという、概念の単純化だと思います。「効用の最大化は費用の最小化」だけでも感動的ではないですか?

私も線形計画法で双対性を教わったとき、「だから何なんだ」でした。しかしラグランジュ乗数法でわかって、線形計画法はその特殊な場合として納得できました。つまり少なくとも私の場合、ラグランジュ乗数法を経由しなければ双対性にどんな意味があるか、わかりませんでした。

f(x) を目的関数、g(x) = 0 を制約条件とすると、最適化問題 min_x {f(x) | g(x)=0} の解は、ラグランジュ関数 L(x,m) := f(x) + m g(x) の鞍点 dL/dx = dL/dm = 0 です。x が主変数、m が双対変数とかラグランジュ乗数と呼ばれるもの...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

QKKT条件について教えてください。

KKT条件はどのようなものかわかるのですが、具体的な数値例がわかりません。
以下の2次計画問題のKKT条件を教えて下さい。
最小化:x1^2+x2^2 (x1の2乗+x2の2乗)
条件:x1+2x2=1 ,x1≧0,x2≧0

Aベストアンサー

ラクランジュの未定乗数法(の拡張版)で極値問題を解く話ですね。

> KKT条件はどのようなものかわかるのですが、

と仰っているけれど、本当にお分かりであれば自明のはずですぜ?

minimize f(x1,x2) subject to g(x1,x2)=0, p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0

において、解の必要十分条件は、

L(x1,x2,a,b,c) = f(x1,x2) + a g(x1,x2) + b p(x1,x2) + c q(x1,x2)

としたときに、(1)~(5)を全て満たすこと。
∂L/∂x1 = 0, ∂L/∂x2 = 0  …(1)
∂L/∂a = 0 …(2)
b p(x1,x2) = 0, c q(x1,x2) = 0 …(3)
p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0 …(4)
b ≧0, c≧0 …(5)

このうち(3)をKKT条件(カルッシュ・クーン・タッカーの相補条件)と呼びます。たとえばb p(x1,x2) = 0 ってのは、bかp(x1,x2)の少なくとも一方が0であることを要求している。これは、「解がp(x1,x2)=0の曲線上にない場合には、b=0でなくちゃいけない」ってことです。

f(x1,x2)のグラフを等高線で描き、様々な(x1,x2)におけるf(x1,x2)の最大傾斜方向を描き込んで、さらにg(x1,x2)=0, p(x1,x2)=0, q(x1,x2)=0の曲線も重ねて描いてみると、(1)~(5)の意味が見えて来るでしょう。

ラクランジュの未定乗数法(の拡張版)で極値問題を解く話ですね。

> KKT条件はどのようなものかわかるのですが、

と仰っているけれど、本当にお分かりであれば自明のはずですぜ?

minimize f(x1,x2) subject to g(x1,x2)=0, p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0

において、解の必要十分条件は、

L(x1,x2,a,b,c) = f(x1,x2) + a g(x1,x2) + b p(x1,x2) + c q(x1,x2)

としたときに、(1)~(5)を全て満たすこと。
∂L/∂x1 = 0, ∂L/∂x2 = 0  …(1)
∂L/∂a = 0 …(2)
b p(x1,x2) = 0, c q(x1,x2) = 0 …(3)
...続きを読む

QΣと∫って入れ替えできるんですか!?

Σと∫を入れ替えられる条件とはなんでしょうか?
例えば
∫Σt^n/n!dt
という式があって
Σ∫t^n/n! dt
のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。

さらに、同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか?
lim∫1/t dt 
=∫lim1/t dt
みたいな感じです。

お願いします!教えてください!!

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。

また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、...続きを読む

Qスキーウエアの下に着るもの、初心者への注意!

友達に誘われて、高校の修学旅行以来ぶりに10年ちかくぶりに無謀にもスキーに行くことになりました。
高校生の時は、ウエアの下は学校指定のジャージを着ましたが、今回はそうはいかないので何をきたらいいのか教えて下さい。
あと板とかブーツとかウエア、手袋はレンタルしたのですが、帽子やゴーグルは必要なのですか?身につけなくても大丈夫ですか?
あと土曜の夜から夜行バスでスキー場にいって、日曜日の朝から滑って帰ります。持っていったほうが良いもの、これがあったら便利など、荷物はこんなものにいらたらいいよなど、ほんのささいなことでもかまいません。教えてください!ホントに分からないことだらけなのでよろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず、滑るときの服装ですが、理想は
上:ハイネックのシャツ、首が寒くないセーター等
下:足首まであるタイツ、スパッツ
です。特にスキー専門店においてあるものは運動性等も考慮されていますので、良いでしょう。

ただ、そうはいっても一度や二度のスキーに購入するのはもったいないので、
上:なるべく首の部分が隠れるシャツ、そして、同様のトレーナー、スウェット
下:足首部分にファスナー等堅いものの付いていない、トレーナー、スウェット
でも、代用できます。
首の部分にこだわるのは、転んだときに雪が入って来るのを防ぐため、足首部分に堅いものが付いているものを避けるのは、ブーツを履いたときに足に食い込んで痛くなるのを防ぐ意味があります。

また、スキー場の標高や場所・天候によって寒さが変わるので、寒いなと思ったら、少し厚めのものを用意すると良いと思います。

続いて、バスの中ですが、夜行バスは次のような状態です。
1.暖房は効いているが、頭が暑く、足下は寒い。また、窓際が寒い。
2.あまりリクライニングしないシートの場合が多い。
3.カーテンをしても対向車のヘッドライトは結構気になる。
4.長い間座るので腰が痛い。
5.イスで寝るので、慣れていないと寝付けない、眠りが浅い。

これらを解消するのに、
1.ジャンパー(ウェアでも良い)等を車内に持ち込んで、膝掛けにする。
2.首を固定する空気枕等を用意する。
3.アイマスクを用意する。
4.途中のドライブインやサービスエリアで止まったとき、目が覚めていれば、一度降りて軽く腰を伸ばしておく。
5.寝酒を用意する。ただし、量を多く飲む人はビールではトイレが近くなって迷惑を掛けるので、日本酒の方がベター。でも飲み過ぎに注意。(笑)
あと、途中で目が覚めたときのために、ヘッドホンステレオなどがあると完璧でしょう。
あると便利な小物は、日焼け止め、使い捨てカメラ、使い捨てカイロ、帽子が脱落するのを防ぐクリップ、煙草を吸う方は携帯灰皿とターボライターがあげられます。

これだけのものを全て用意するのは大変なので、自分が必要だと思うものを選択してください。

まず、滑るときの服装ですが、理想は
上:ハイネックのシャツ、首が寒くないセーター等
下:足首まであるタイツ、スパッツ
です。特にスキー専門店においてあるものは運動性等も考慮されていますので、良いでしょう。

ただ、そうはいっても一度や二度のスキーに購入するのはもったいないので、
上:なるべく首の部分が隠れるシャツ、そして、同様のトレーナー、スウェット
下:足首部分にファスナー等堅いものの付いていない、トレーナー、スウェット
でも、代用できます。
首の部分にこだわるのは、転...続きを読む

Q凸集合の定義ってなんですか?

2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

つまりy=xのような直線は凸集合
n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。

Qクーン・タッカー条件

目的関数 3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y)) → Max
制約条件 x+y ≦ 10
x , y ≧ 0
に対するクーン・タッカー条件を求めてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

目的関数を偏微分したものと、制約条件式を偏微分したものに
ラグランジュ乗数をかけて足し合わせ、それを0とすれば
Karush-Kuhn-Tucker条件になると思います。

最大、最小、不等号の向きに注意して導いてみると…
f(x,y)=-[3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))]
g1(x,y)=x+y-10
g2(x,y)=-x≦0
g3(x,y)=-y≦0
と置くと、

∇f(x,y) = [-6e^(-2x), -4e^(-y)]T
∇g1(x,y) = [1, 1]T
∇g2(x,y) = [-1, 0]T
∇g3(x,y) = [0, -1]T

(ただしTは転置記号)
ラグランジュ乗数をλ1、λ2、λ3として、

[-6e^(-2x), -4e^(-y)]T + [λ1, λ1]T + [-λ2, 0]T + [0, -λ3]T
= [0, 0]T

ある局所最適解[x*, y*]Tについて上式を満たすλi(i=1,2,3)が存在する
というのがご所望のKarush-Kuhn-Tucker条件です。

#計算に自信無いのでチェックして下さいね

ちなみにKarush-Kuhn-Tuckerは経済学だけに出てくるものではなく、
基本的に数理計画法の分野のものです。その応用は多岐に渡ります。

#例えば航空機や宇宙往還機の最適軌道計算など

目的関数を偏微分したものと、制約条件式を偏微分したものに
ラグランジュ乗数をかけて足し合わせ、それを0とすれば
Karush-Kuhn-Tucker条件になると思います。

最大、最小、不等号の向きに注意して導いてみると…
f(x,y)=-[3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))]
g1(x,y)=x+y-10
g2(x,y)=-x≦0
g3(x,y)=-y≦0
と置くと、

∇f(x,y) = [-6e^(-2x), -4e^(-y)]T
∇g1(x,y) = [1, 1]T
∇g2(x,y) = [-1, 0]T
∇g3(x,y) = [0, -1]T

(ただしTは転置記号)
ラグランジュ乗数をλ1、λ2、λ3として、

[-6e^(-2x), -4e^(...続きを読む

Q∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方

∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。...続きを読む

Qデポジットについて

高校の授業でゴミと環境をテーマにレポートを作成します。そこで自分はデポジットについてまとめようと思い、図書館やインターネットで調べています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=243845の質問を少し参考にさせていただきました。ありがとうございます。

 もう既に一部の町とか地域ではデポジット制は導入されているのですか?代表的な地域の名前とか知りたいのですが。
 そもそも、缶などの回収に対して“デポジット制”と言う言葉を使うのですか?返却すれば料金が戻ってくるもの全て“デポジット制”なのでしょうか。スイカとかそうですよね?
 そして、デポジット制にもデメリットはあるのでしょうか。
たくさん書き込んですみません。しかも文章まとまってない;;
時間のあるときでいいので、教えてください。

 又、ドイツの環境政策の取り組みはすごいと聞きます。他の国ではどこがすごいのでしょうか。
ドイツ等、他国の環境政策、参考になるサイトや説明もよろしかったら教えてください。
失礼しました。

Aベストアンサー

デメリットについてです。

日本がなぜ導入に積極的ではないのか。
体制がなっていないからです。
日本は現在大量生産、大量消費、大量廃棄で成り立っている社会です。
デポジット制度を導入して、大量生産ができなくなると・・・。
容器を作っているメーカーさんがとりあえず大量生産ができなくり、収入が無くなってしまうわけです。

他に、ここまで(ある意味)便利なっている社会において、消費者の心を動かすのも難しいですし、それだけの仕組みをつくり変えていくのも大変ですね。
タバコのポイ捨てや空き缶をゴミ箱にすら捨てない人が多くいる中で、小額のために使った容器を戻してくれる人がどのくらいいるでしょうか・・・;

と悲観的なことばかり書きましたが、前述のほうはやり方によっては解決できる問題のはずです。
また、後述のほうも 主婦や節約をしている人、環境に関心のある人々にとっては嬉しいシステムでしょう。
それらの人がやってくれるだけでも、充分価値があると思いますよ。

ドイツはすごいですね。
以前NHKの教育テレビで見ましたが、飲み物などの飲食系から洗剤などの容器まで、自分で持ってって買い物をしていました。
セルフサービスで容器とかに中身を詰めるんです。


今、「マイバッグ運動」と言って、自分でバッグを持って買い物に行き、レジ袋を減らしましょうという運動があります。
これも、還元などはありませんが 考えようによってはデポジットと目指すところは同じであると思います。
こちらも、導入には課題があるようです。
特にコンビニ業界から反対に遭っています。
コンビ二では軽く少量の買い物をする人が多いので、袋はかかせないと。
確かに、コンビニに行くためにマイバッグを持ってってくれる人は少ないでしょうね。
導入による客離れが懸念されるのでどの企業も反対をしています。
企業も、商売があってですからね^^;

私の家のそばでも、缶の回収の代わりにシールを出してくれて○枚集めると○円・・・という機械がありましたが、半年ほどで撤去されていました。
利用者はけっこういたはずなんですけど・・・どこかで採算がとれなかったのかも。


*デンマークのデポジット:http://www31.ocn.ne.jp/~econet/report/rp010715.html

*イフコ・ジャパン株式会社:http://www.ifco-jpn.co.jp/(コンテナーの?デポジット)

*終了していますが八丈島で:http://www.town.hachijo.tokyo.jp/dejipot/dp0001.htm

課題頑張ってください^^

デメリットについてです。

日本がなぜ導入に積極的ではないのか。
体制がなっていないからです。
日本は現在大量生産、大量消費、大量廃棄で成り立っている社会です。
デポジット制度を導入して、大量生産ができなくなると・・・。
容器を作っているメーカーさんがとりあえず大量生産ができなくり、収入が無くなってしまうわけです。

他に、ここまで(ある意味)便利なっている社会において、消費者の心を動かすのも難しいですし、それだけの仕組みをつくり変えていくのも大変ですね。
タバコのポイ捨...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む


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