数学の問題で分からないのがあります。

・2つの関数f(x)=x^2, g(x)=-x^2-2x+aがある。区間-1≦x≦1において、次のことが成り立つように定数aの値の範囲を定めよ。
（１）区間内のすべてのxについて　　f(x)>g(x)
（２）区間内のあるx1について　　　　f(x1)>g(x1)

・次の不等式を解いてください。ただし、0°≦θ≦1８０°　
tanθ+√３≧0

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/26 22:04

（１）区間内のすべてのxについて　　f(x)>g(x)

f(x)=x^2は(0,0)で極小となる∪形の二次曲線。
g(x)=-x^2-2x+a=-(x^2+2x)+a=-(x+1)^2+a+1は
(-1,a+1)で極大となる∩形の二次曲線。
区間-1≦x≦1でf(x)>g(x)となるためには、2曲線が接するときの
g(x)の極大値をAとしたとき、A＞a+1であればよい。
2曲線が接する条件はx^2=-x^2-2x+aより2x^2+2x-a=0が重根をもつ
条件であり、根の判別式=0すなわち4+8a=0からa=-1/2
このときのg(x)の極大値はa+1=-1/2+1=1/2=A
よって求めるaの範囲は1/2＞a+1より-1/2＞a・・・答え
（２）区間内のあるx1について　　　　f(x1)>g(x1)
あるx1でf(x1)>g(x1)となるためには、x=x1で2曲線が交差するか
接するときのg(x)の極大値をAとしたとき、A＞a+1であればよい。
y=-(x+1)^2+Aがx=x1でf(x)と交差又は接するのであるから、
-(x1+1)^2+A=x1^2よりA=2x1^2+2x1+1
よって求めるaの範囲は2x1^2+2x1+1＞a+1より2x1(x1+1)＞a・・・答え
・次の不等式を解いてください。ただし、0°≦θ≦1８０°　
0°≦θ≦180°の範囲でtanθ=-√3となるのはθ=120°のときのみ。
よってtanθ≧-√3を満たすθは
0°≦θ＜90°及び120°≦θ≦180°・・・答え

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/06/26 21:20

(1)F(x)=f(x)-g(x) とおくと条件より-1≦x≦1でF(x)>0

　F(x)=2x^2+2x-a＝2(x+0.5)^2-0.5-a>0　　-1≦x≦1でF(x)の最小値はx=-0.5の時でF(-0.5)=-0.5-a>0 よって　答え　a<-0.5
(2)区間-1≦x≦1のあるｘについてF(x)=f(x)-g(x)>0であれば区間内のF(x)の最大値は正である。F(x)は下に凸であるから、F(x)の最大値は x=-1またはx=1のところにある。
F(-1)=-a,F(1)=4-a なのでa<0の時はF(-1),F(1)とも正 a>0のときはF(1)が最大値でF(1)=4-a　よってa<4ならF(1)>0　よって　答え　a<4

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/26 21:16

＞・2つの関数f(x)=x^2, g(x)=-x^2-2x+aがある。

区間-1≦x≦1において、次のことが成り立つように定数aの値の範囲を定めよ。
Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）
＝x^2－（x^2-2x+a）
＝２ｘ^2＋２ｘ－ａ
＝２（ｘ^2＋ｘ＋1/4）^2－1/2－ａ
＝２（ｘ＋1/2）^2－1/2－ａ
Ｆ（ｘ）は、下に凸な放物線。
軸ｘ＝－1/2　は、区間-1≦x≦1の中にある。
＞（１）区間内のすべてのxについて　　f(x)>g(x)
最小値Ｆ（-1/2）＝－1/2－ａ＞０であれば良いから、ａ＜－１／２
＞（２）区間内のあるx1について　　　　f(x1)>g(x1)
「すべての区間-1≦x≦1でＦ（ｘ）＞０でなくても良い」ということだから、
ある区間では、Ｆ（ｘ）≦０でも良いから、（１）の否定。
よって、ａ≧－１／２

＞・次の不等式を解いてください。ただし、0°≦θ≦1８０°　
＞tanθ+√３≧0
tanθ≧－√３より、単位円で考えると、
０°≦θ＜９０°，１２０°≦θ≦1８０°　

どうでしょうか？