「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

座標平面上での三角形の面積の公式についてです!

一般的にはy1>y2, x1<x2で1/2(x2y1-x1y2)という式ですが、

図のようなy1<y2の場合は
1/2(x2y2-x1y1)になりますか?

「座標平面上での三角形の面積の公式について」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 要するにこの場合も1/2(x2y1-x1y2)ということでしょうか?

      補足日時:2020/08/18 10:24

A 回答 (4件)

よく読んで 1/2(x2y1-x1y2)になる場合とならない場合があるよと書いたはずですよ!



#1に書いたように
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1| が公式・・・①
もう少し補足すると
y1>y2, x1<x2のときは  小さい数同士の積<大きい数同士の積 ということで
x1y2<x2y1
移行して
x1y2-x2y1<0
公式①の絶対値の中身がマイナスだから
絶対値を外すときは-1倍しないといけないので
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)・(-1)・(x1y2-x2y1)=(1/2)(x2y1-x1y2)
よって、このケースではあなたの質問文にかかれた通りの式になる

しかしy1<y2という条件だけでは、x1y2>x2y1なのか、それともx1y2<x2y1になるか確定しない
例えば y1=1,y2=2のとき
x1=3,x2=1ならx1y2>x2y1となるし
x1=1,x2=3ならば x1y2<x2y1 となるので x1,x2の値次第でx1y2とx2y1の大小関係はかわる
こうなると絶対値の中身がプラスか、マイナスか確定しないので安易に公式①の絶対値は外せない

y1<y2 かつx1>x2 というようにy1とy2の大小関係のほかにx1,x2の大小関係も決まっているなら
大きい数同士の積>小さい数同士の積 だから
x1y2>x2y1 となり
移行してx1y2-x2y1>0となるので
公式①の絶対値の中身がプラスで -1倍のような操作なしに絶対値記号を外せる
ゆえに、この場合は△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1) となります

ということで、あなたが疑問に思ったケース(ただしx1,x2の大小条件も付けたし)では
x1y2とx2y1が入れ替わり、引き算の順番が変わることに注意です
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この回答へのお礼

すみません、ありがとうございます!

お礼日時:2020/08/18 19:52

> 要するにこの場合も1/2(x2y1-x1y2)ということでしょうか?



(1/2)(x2y1-x1y2) の符合の意味については、No.2 に書きましたね。
写真の図の例では、 (x1,y1) から (x2,y2) への(180度以下での)回転が
時計回りなので、面積は (1/2)(x2y1-x1y2) です。
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この回答へのお礼

なるほど!!ありがとうございます!!!(*・ω・)*_ _)ペコリ

お礼日時:2020/08/18 19:52

(1/2)(x2y2 - x1y1) にゃーなりませんよ。


S = (1/2)(x2y1 - x1y2) は、裏表のある三角形の面積を表す式です。
ベクトル (x1,y1) を (x2,y2) へ、180以下の回転で重ねるとき
それが 時計回りの回転なら S > 0, 反時計回りなら S < 0 になります。
裏表を考えずに符合無しの面積を求めるときは、三角形は |S| です。
なぜそうなるかって? 興味があれば、"外積" を google してみましょう。
https://atarimae.biz/archives/23716
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あなたの示した式は一般的ではありません


以下を覚えておくべきです

A(x1,y1),B(x2,y2)とすると
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|
・・・絶対直の中身がプラスの場合絶対値を外すなら△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1)
絶対直の中身がマイナスの場合絶対値を外すなら△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=-(1/2)(x1y2-x2y1)

で、y1<y2だけでは絶対値の中身がプラスかマイナスか決まらないので 絶対値を外した形は確定しませんが
y1<y2 かつx1>x2ならば
x1y2>x2y1⇔x1y2-x2y1>0なので
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1) となります


ちなみに導出法は
直線ABの方程式をもとめて
AB:(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)y=0
ABと点Oの距離hは 点と直線の距離の公式で
h=|x2y1-x1y2|/AB
∴△OAB=(1/2)AB・h=(1/2)|x2y1-x1y2|
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