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No.10
- 回答日時:
No.9削除
No.8の書き間違いは
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3
hでやったほうがいい場所と「場合分け」でやった方がいい場所が混在している
h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると
p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)
Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))
R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))
よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
No.9
- 回答日時:
No.8の書き間違いは
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))
h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると
p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)
Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))
R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))
よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
No.8
- 回答日時:
No.7の書き間違いは
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
⇩
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると
p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)
Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))
R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))
よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
No.7
- 回答日時:
書き間違いは
∫[-∞,∞]dx1dx2dx3→∫[-∞,∞]dx1∫[-∞,∞]dx2∫[-∞,∞]dx3
以下積分について積分範囲を省略した場合には積分範囲は全範囲とする
h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると
p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)
Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=(1-(1-y・(h(y)-h(y-1)))^3)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))
R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))
よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
No.6
- 回答日時:
E(X)=∫XdF(X)
の意味は
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dX
でdF(X)/dxが確率密度関数だと思います
∫[x1, x2]dF(X)=∫[x1, x2]dF(X)/dX*dX=F(x2)-F(x1)はx1~x2の確率で(F(X)が分布関数ということの意味)
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dXは連続変数XでXにその場合の確率(確率密度)をかけて足し合わせる計算ということです
問題の期待値は、例えば最大値で
XdF(X)={(X1が最大値のときの)*X1+(X2が最大値のときの)*X2+(X3が最大値のときの)*X3}*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)
このうち(X1が最大値のときの)*X1*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)をdF(X1)*dF(X2)*dF(X3)で積分すると
∫∫∫[0<=X1<=1, X2<X1, X3<X1の範囲]X1*dFX1/dX1*dFX2/dX2*dFX3/dX3*dX1*dX2*dX3
=∫X1∫[0,X1]dFX2/dX2*dX2∫[0,X1]dFX3/dX3*dX3*dFX1/dX1*dX1
一様分布なのでdF(X1)/dX1=dF(X2)/dX2=dF(X3)/dX3=1として
=∫X1(X1-0)(X1-0)dX1
=∫X1^3dX1
となろうと思います
No.4
- 回答日時:
X1, X2, X3 の最大値の分布関数を考えれば簡単じゃないかな.
max {X1, X2, X3} ≦ X ⇔ X1 ≦ X かつ X2 ≦ X かつ X3 ≦ X
だから (あと独立性から)
Pr(max {X1, X2, X3} ≦ X) = Pr(X1 ≦ X) Pr(X2 ≦ X) Pr(X3 ≦ X) = X^3.
回答ありがとうございます。
自分も初めはそう考えたのですが、その確率だと「最大値がXになる確率」ではなくて、「最大値がX以下になる確率」を求めてしまっていることにならないのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
X1が最大値Xをとる場合
X1が最大になる確率はF(X)=P(X1=X)P(X2<X)P(X3<X)ですので
E_Max(X1)=∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
同様に
E_Max(X2)=E_Max(X3)=1/4
E_Max(X)=E_Max(X1)+E_Max(X2)+E_Max(X3)=3/4
最小値は同様に
E_Min(X1)=∫X1(1-X1)^2dX1=1/12
E_Min(X)=1/4
回答ありがとうございます。
求め方の手順は大体分かったのですが、
>∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
の部分がよく分かりません。
そもそも自分自身、問題文の表記にあった∫x dF(x)の表記の意味があまり分かっていなかったのですが、これはxをF(x)で積分するという意味なのでしょうか?
確率密度関数がf(x)であるときに、E[x]=∫xf(x)dxとなるということは分かっているつもりなのですが・・・
No.1
- 回答日時:
h:ヘビサイド関数
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
とすると
p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫[-∞,∞]du・p(u)・h(x-u)
Q(y)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)
Q(y)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)
R(z)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)
よって
E(Y)=∫[-∞,∞]dy・y・q(y)=3・∫[-∞,∞]dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
E(Z)=∫[-∞,∞]dz・z・r(z)=3・∫[-∞,∞]dz・z・(P(z))^2・p(z)
上記の書き間違いの修正と残りの過程を捕捉に書いてください
回答ありがとうございます。
ヘビサイド関数というものを知らず、回答を見てもすぐには理解できませんでした。
もう少し勉強してみます。
丁寧な回答、ありがとうございました。
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