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以下の問題の回答が分からず、困っています。
どなたか、分かる方がいましたらよろしくお願いいたします。

確率変数X1、X2、X3が独立で、ランダム(一様)に[0,1]の範囲の値をとるとき、これらの値の最大値および最小値の期待値を求めよ
という問題です。

ちなみに、F(x)をXの分布関数としたとき、一般的に確率変数Xの期待値は
E[X]=∫x dF(x)
となることは、用いてよいです。

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A 回答 (10件)

No.9削除



No.8の書き間違いは
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
        ⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3

hでやったほうがいい場所と「場合分け」でやった方がいい場所が混在している

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
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No.8の書き間違いは


=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
        ⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))


h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
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No.7の書き間違いは


P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
        ⇩
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
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書き間違いは


∫[-∞,∞]dx1dx2dx3→∫[-∞,∞]dx1∫[-∞,∞]dx2∫[-∞,∞]dx3

以下積分について積分範囲を省略した場合には積分範囲は全範囲とする

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=(1-(1-y・(h(y)-h(y-1)))^3)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=3・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=3・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4
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E(X)=∫XdF(X)


の意味は
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dX
でdF(X)/dxが確率密度関数だと思います
∫[x1, x2]dF(X)=∫[x1, x2]dF(X)/dX*dX=F(x2)-F(x1)はx1~x2の確率で(F(X)が分布関数ということの意味)
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dXは連続変数XでXにその場合の確率(確率密度)をかけて足し合わせる計算ということです

問題の期待値は、例えば最大値で
XdF(X)={(X1が最大値のときの)*X1+(X2が最大値のときの)*X2+(X3が最大値のときの)*X3}*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)
このうち(X1が最大値のときの)*X1*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)をdF(X1)*dF(X2)*dF(X3)で積分すると
∫∫∫[0<=X1<=1, X2<X1, X3<X1の範囲]X1*dFX1/dX1*dFX2/dX2*dFX3/dX3*dX1*dX2*dX3
=∫X1∫[0,X1]dFX2/dX2*dX2∫[0,X1]dFX3/dX3*dX3*dFX1/dX1*dX1
一様分布なのでdF(X1)/dX1=dF(X2)/dX2=dF(X3)/dX3=1として
=∫X1(X1-0)(X1-0)dX1
=∫X1^3dX1
となろうと思います
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そのために「ちなみに」以下があるんですけど....



連続型なら「最大値がXになる確率」は 0 でっせ.
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X1, X2, X3 の最大値の分布関数を考えれば簡単じゃないかな.


max {X1, X2, X3} ≦ X ⇔ X1 ≦ X かつ X2 ≦ X かつ X3 ≦ X
だから (あと独立性から)
Pr(max {X1, X2, X3} ≦ X) = Pr(X1 ≦ X) Pr(X2 ≦ X) Pr(X3 ≦ X) = X^3.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
自分も初めはそう考えたのですが、その確率だと「最大値がXになる確率」ではなくて、「最大値がX以下になる確率」を求めてしまっていることにならないのでしょうか?

お礼日時:2011/07/15 00:50

確率密度関数と分布関数は, どのような関係にあるでしょうか?

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この回答へのお礼

確率密度関数の不定積分が分布関数ですよね?
ということは、dF(x)=dF(x)/dx・dx=f(x)dxということですかね?
それなら納得がゆきます。

ただもしそうだとした場合、この問題では
X1が最大値になる確率=P(X1=X)P(X2<X)P(X3<X)
              =1-0/(1-0)×X1-0/(1-0)×X1-0/(1-0)
=X1^2
になると思うのですが、これをX1の確率密度関数だとみなしてよいということでしょうか?

お礼日時:2011/07/14 23:58

X1が最大値Xをとる場合


X1が最大になる確率はF(X)=P(X1=X)P(X2<X)P(X3<X)ですので
E_Max(X1)=∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
同様に
E_Max(X2)=E_Max(X3)=1/4
E_Max(X)=E_Max(X1)+E_Max(X2)+E_Max(X3)=3/4
最小値は同様に
E_Min(X1)=∫X1(1-X1)^2dX1=1/12
E_Min(X)=1/4
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
求め方の手順は大体分かったのですが、

>∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
の部分がよく分かりません。

そもそも自分自身、問題文の表記にあった∫x dF(x)の表記の意味があまり分かっていなかったのですが、これはxをF(x)で積分するという意味なのでしょうか?
確率密度関数がf(x)であるときに、E[x]=∫xf(x)dxとなるということは分かっているつもりなのですが・・・

お礼日時:2011/07/14 21:10

h:ヘビサイド関数


Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫[-∞,∞]du・p(u)・h(x-u)
Q(y)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)

R(z)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)

よって
E(Y)=∫[-∞,∞]dy・y・q(y)=3・∫[-∞,∞]dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
E(Z)=∫[-∞,∞]dz・z・r(z)=3・∫[-∞,∞]dz・z・(P(z))^2・p(z)

上記の書き間違いの修正と残りの過程を捕捉に書いてください
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ヘビサイド関数というものを知らず、回答を見てもすぐには理解できませんでした。
もう少し勉強してみます。

丁寧な回答、ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/14 21:13

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分布関数F(x)の問題が解けないです。

お手数をかけますが、お知恵をいただきたく思います。
以下問題です。
F(x)={0 (x<0) , x^2/4 (0<=x<=2) , 1 (2<=x)}

(1)p(1<=X<=3)の値を求めなさい。
(2)確率密度関数を求めなさい。
(3)分布関数F(x)をY=2X+1としてYの分布関数G(x)を求めなさい。

(3)の解法が全く分かりません…orz

取りあえず、(1)(2)を求めてみます。
(1) F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
(2) F(x)微分して、p(x)={0 (x<0) , x/2 (0<=x<=2) , 0 (2<=x)}

これを使って(3)を解くのだと思いますが、テキストに類題が無いので解らないです。

Aベストアンサー

(1)
>F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
合っています。

(2)
> F(x)<をxで>微分して、p(x)=0 (x<0) , x/2 (0<=x<=2) , 0 (2<=x)
これで良いでしょう。

(3)Y=2X+1
F(x)=x^2/4 (0<=x<=2)
F((y-1)/2)= (y-1)^2/16 (1<=y<=5)
G(y)=0(y<1), (y-1)^2/16 (1≦y≦5), 1 (5<y)

Q最大値の期待値が元の数の期待値を上回る証明

x1,x2は正規分布しているとします.

z=max(x1,x2)

と,いずれかの最大値を選択するとします.
(x1から2つサンプリングしてもいいのですが・・・)

このとき,それぞれの期待値について次の関係,

E(z)>=E(x1)
E(z)>=E(x2)

が成立することを証明せよ.という問題を教えて下さい.

ガンマ関数とか使う解法はネットで見つけたのですが,
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Aベストアンサー

何度もごめんなさい。期待値の単調性が使えるなら、z≧x1から直接
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が導けてしまいますね・・・。ですから、No.3での証明はとても変でした。

No.1で意図していたのは、「常に非負の値をとる確率変数の期待値は非負になる」ことから
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を得て、期待値の線型性から、左辺が
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となって、結局
E[z]≧E[x1]
となることがわかるというものでした。すみません。

Q確率密度関数の問題教えてください

同時確率密度関数6(x-y) 0<x<y<1 のX,Yそれぞれについて周辺確率密度関数と期待値と分散を求め、共分散と相関係数を求めよ。


Xの期待値がゼロになったり、Yの期待値がマイナスの値になってしまったのですが、良いのでしょうか?

Aベストアンサー

同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1 とします。
(1)周辺確率密度関数は
 f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
 f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
 xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
 E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
 Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
 ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
 E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
 Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
 E[xy]=∫[0,1]∫[0,x] xy・f(x,y)dydx=∫[0,1]∫[0,x] 6xy(x-y)dydx=1/5
 Sxy=E[xy]-mxmy=1/5-3/4・1/4=1/80

同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1 とします。
(1)周辺確率密度関数は
 f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
 f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
 xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
 E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
 Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
 ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
 E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
 Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
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Q∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方

∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。...続きを読む

Q一様分布について

確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば
Yはまた一様分布になることを示せ


という問題で確率変数Xの確率密度をfx(x)、確率変数Yの確率密度をfy(y)として「確率分布関数の微分は確率密度」の定義より確率変数X,Yの確率分布関数が等しいので確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すればYはまた一様分布になる。
と証明したのですが解き方として間違いはないでしょうか?

ご教授願います。

Aベストアンサー

まったく完璧ですよ。

ちなみに直感的にも明らかですし、また分布関数がともに一致する、という証明でもいいです。こちらの方が多少計算量は少なくなると思います。

例.P(Y≦y)=P(1-X≦y)=P(X≧1-y)=1-P(X<1-y)=1-(1-y)=y
ただし0<y<1とし、P(X<1-y)=1-yはXが(0,1)上の一様分布であることを使った。このことからYも(0,1)上の一様分布であることが分かりますね。微分して密度が1であることも直ちに分かります。

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q大学院入試(筆記+面接)の服装について

こんばんは、タイトルのとおり服装について質問させてください。
ちなみに、男性です。

8月の終わりに現在在籍している大学と違う大学院(工学研究科)の入試を受けてきます。
外部からなので、服装とかどうしたらいいものか・・・と思って質問させていただきました。

過去の質問を検索してみると、筆記は無難な私服、面接はスーツが多かったように思います。
そこで、やはり筆記は着慣れない(普段勉強するときにスーツは着ませんから)スーツよりも、失礼じゃない程度に、夏なので半そでの襟付きを着ていこうと思っています。
その後の面接(口頭試問)はスーツで行こうと思っているのですが、あいにく春秋ものしかなくて、どうしようかと思っています。
ズボンにシャツ+ネクタイで、上着は着ていかなくてもいいものなのでしょうか?
それとも我慢して上着も着たほうがいいものでしょうか?

筆記・面接どちらについてもアドバイスをお願いします!

Aベストアンサー

こんばんわ。私は女ですが、在籍している大学とは違う、地方国立大学の工学系大学院を今月受験して、合格しました。地方ですし、推薦だったので面接しかありませんでしたが、少しでも参考になればと思います。

私が受験したときは、男性も女性もスーツでした。多くは就活のようにかっちりとではなく、男性は柄のあるシャツ、女性はシャツをカットソーにしていました。私は就活のスタイルで行きました。
ラフな感じの学生さんは同じ大学内で受験している方がほとんどでした。masatoさんも在籍している大学とは違う大学院を受験されるということですので、かっちりめのほうがいいかと思います。

面接は、私の場合はまず志望理由、現在行っている卒業研究の内容とその意味、進学してどうしたいのか、大学で勉強してきたこととの関連性、卒業後の進路希望…というベタな内容でした。これらはある程度想定していた内容だったので答えられましたが、色んな分野の先生方が面接官をしておられたので、不意打ちの質問もありました。そのような場合は、あせらずにゆっくりと考えてもいいかと思います。(あまり間が空いてしまうとだめですが)

masatoさんがどのような大学院を受験されるかわかりませんが、私の経験が参考になれば幸いです。
当日は落ち着いて、自分の考えをはっきりと伝えられるよう頑張ってください。自ずと結果はついてきます!!長々とすみませんでした。

こんばんわ。私は女ですが、在籍している大学とは違う、地方国立大学の工学系大学院を今月受験して、合格しました。地方ですし、推薦だったので面接しかありませんでしたが、少しでも参考になればと思います。

私が受験したときは、男性も女性もスーツでした。多くは就活のようにかっちりとではなく、男性は柄のあるシャツ、女性はシャツをカットソーにしていました。私は就活のスタイルで行きました。
ラフな感じの学生さんは同じ大学内で受験している方がほとんどでした。masatoさんも在籍している大学とは...続きを読む

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q分布関数と一様分布の関係について

Xを連続型の確率変数として、その分布関数をF(X)としたとき、F(X)は一様分布U[0,1]に従うみたいなのですが、理解できません。初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

←No.3 「お礼」欄について:
ああ、そういう質問意図だったか。
それなら、それが判るように書かなきゃね。

関数 F が確率変数 X の分布関数だというのは、
X≦t という事象の起こる確率が F(t) ってこと。
分布関数は単調増加だから、X≦t ⇔ F(X)≦F(t).
つまり、F(X)≦F(t) という事象の起こる確率
が F(t) ってことだ。
F(X)=Y, F(t)=T と記号を置き換えると、
Y≦T という事象の起こる確率が T だと言える。

A No.2 に書いた一様分布 U(0,1) の定義によれば、
それは、Y が U(0,1) に従うってことだよね。

Q逆数の期待値について

簡単な問題かもしれませんが、思いつかないので教えて下さい。正規分布N(μ,σ)に従う確率変数Xの逆数1/Xの期待値E[1/X]が分かりません。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>クローズドフォームで表わすことは難しいでしょうか?

解析的には無理でしょうね。
結局、∫[a,b]exp(-x^2)/x dxを計算できれば十分なわけですが。
なんなら、Mathematicaで確かめてみましょうか?


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