数学Ⅲです。 楕円楕円x^2/4+y^2=1のx>0,y>0の部分をCで表す。曲線C上に点P(x1,

数学Ⅲです。

楕円楕円x^2/4+y^2=1のx>0,y>0の部分をCで表す。曲線C上に点P(x1,y1)をとり、点Pでの接線と2直線y=1およびx=2との交点をそれぞれQ,Rとする。点(2,1)をAとし、三角形AQRの面積をSとおく。この時、次の問いに答えよ。
(1) x1+2y1=kと置くとき積x1y1をkを用いて表せ
⑵ Sをkを用いて表せ
⑶点PがC上を動くときSの最大値を求めよ。
この問題の最初のx1+2y1=kと置いてるのは何の意味ですか？
(3)ではx1^2+4y1^2=4とx1+2y1=kを連立してますが……

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/17 15:19

いや、身も蓋もないことを言えば、

x1+2y1=k と置いてることの意味は、小問による(3)の解法への誘導です。
それ以上でも、それ以下でもありません。
(1)(2)無しでいきなり(3)を解くことと、(1)(2)を経て(3)を解くことの違いを考えてみてください。
(1)(2)があることで、明らかに(3)の解法を誘導されていますよね？
誘導であって強制ではないので、
(1)(2)を無視して全く別の解法を思いついても減点になるわけではありませんが、
試験時間が限られていることを思えば、(1)(2)にかけた時間を捨てて
別の解法を記述する時間はロスとしか言えないでしょう。

内容としては、S を直接 x,y の関数と考えずに、
k を x,y の関数、S を k の関数と見ることによって
問題を合成関数の最大値として扱っているのです。

例えば、0≦x≦1, 0≦y≦1 のとき f(x,y) = (x+3y)^2-2(x+3y)+5 の最小値を求めろ
と言われたら、右辺を展開したりせずに、t = x+3y と置きますよね？
この例は x+3y が露骨ですが、質問の問題では、図から x1+2y1 を自分で発見しなくても、
出題者が x1+2y1=k と置いてくれているのです。要するに、ヒントです。